2nde 📈 Fonctions Étape 7 / 23 du parcours

Variations et extremums d’une fonction

Variations et extremums en 2nde : fonction croissante ou décroissante sur un intervalle, tableau de variations, maximum et minimum.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La notion de fonction , Lire un graphique

Étudier les variations, c’est repérer où la courbe monte et où elle descend.

Sur le profil d’une étape du Tour de France, les coureurs regardent où ça monte, où ça descend, et l’altitude du sommet. Le col du Tourmalet, par exemple, culmine à 2 115 m.

Pour une fonction, c’est pareil : on cherche ses montées, ses descentes, ses sommets et ses creux (les extremums).

Croissante, décroissante

Imagine que tu parcoures la courbe de gauche à droite, comme un cycliste. Si tu montes, la fonction est croissante ; si tu descends, elle est décroissante. Voici la version précise.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : $a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$ . Les images sont rangées dans le même ordre.
$f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ : $a \leqslant b \Rightarrow f(a) \geqslant f(b)$ . L’ordre est inversé.
Avec des inégalités strictes ( $a < b \Rightarrow f(a) < f(b)$ ), on dit strictement croissante (ou décroissante).
Si $f$ ne change pas de sens de variation sur $I$ , elle est monotone sur $I$ .

Le tableau de variations

Le tableau de variations résume tout en deux lignes : en haut les valeurs de $x$ où le sens change, en bas des flèches (↗ pour croissante, ↘ pour décroissante) avec les images aux extrémités des flèches.

Appuie sur ▶ « Parcourir » ou fais glisser le point sur la courbe. La portion parcourue devient verte quand ça monte et rouge quand ça descend, et le tableau de variations se remplit en même temps. Va jusqu’au bout pour découvrir le maximum et le minimum, puis teste les autres fonctions.

Pour la température de la journée, on obtient :

$h$	$0$		$3$		$15$		$24$
$T(h)$	$\approx 8{,}5$	↘	$7$	↗	$17$	↘	$\approx 8{,}5$

On lit : la température baisse de minuit à 3 h, monte jusqu’à 15 h, puis redescend jusqu’à minuit.

Maximum et minimum

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

$f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si, pour tout $x \in I$ , $f(x) \leqslant f(a)$ . On dit que le maximum est atteint en $a$ .
$f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si, pour tout $x \in I$ , $f(x) \geqslant f(a)$ .
Un maximum ou un minimum s’appelle un extremum.

Un peu d’histoire

Le plus ancien problème de maximum est peut-être une légende. Le poète latin Virgile raconte que la reine Didon, arrivée sur les côtes d’Afrique vers le IXe siècle av. J.-C., obtint du roi local autant de terre qu’elle pourrait en entourer avec une peau de bœuf. Rusée, elle découpa la peau en une lanière très fine et l’étala en arc de cercle contre la mer : elle obtint ainsi la plus grande surface possible et y fonda la ville de Carthage. Les Grecs savaient aussi que la nature cherche les extremums : vers le Ier siècle, Héron d’Alexandrie montre que la lumière qui se réfléchit sur un miroir suit le chemin le plus court.

Dans l’exemple de la température, le maximum de $T$ sur $[0\,;\,24]$ est 17 °C, atteint à 15 h ; le minimum est 7 °C, atteint à 3 h. Les extremums se trouvent soit là où la flèche change de sens, soit aux bornes de l’intervalle : il faut toujours vérifier les deux.

Exemples résolus

Exemple 1 : lire un tableau de variations

Une fonction $f$ définie sur $[-2\,;\,6]$ a le tableau suivant :

$x$	$-2$		$1$		$6$
$f(x)$	$3$	↘	$-4$	↗	$5$

$f$ est décroissante sur $[-2\,;\,1]$ et croissante sur $[1\,;\,6]$ .
Minimum : $-4$ , atteint en $x = 1$ .
Maximum : on compare les bornes, $f(-2) = 3$ et $f(6) = 5$ . Le maximum est 5, atteint en $x = 6$ .

Exemple 2 : comparer des images sans les calculer

Avec le même tableau, compare $f(2)$ et $f(4)$ .

$2$ et $4$ sont dans $[1\,;\,6]$ , où $f$ est croissante. Comme $2 < 4$ , on a $f(2) \leqslant f(4)$ : l’ordre est conservé.

Exemple 3 : le bénéfice d’un food-truck

Le bénéfice quotidien d’un food-truck, selon le prix $x$ du menu (en €, entre 6 et 16), vaut $B(x) = -10x^2 + 220x - 960$ . Sa courbe est une parabole « tournée vers le bas » de sommet d’abscisse $\dfrac{-220}{2 \times (-10)} = 11$ .

$x$	$6$		$11$		$16$
$B(x)$	$0$	↗	$250$	↘	$0$

Le bénéfice maximal est de 250 € par jour, pour un menu à 11 €.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi le maximum du food-truck est-il atteint en 11 ? On peut réécrire $B(x)$ autrement (on dit « sous forme canonique ») :

B(x) = -10(x - 11)^2 + 250

Vérifie en développant : $-10(x^2 - 22x + 121) + 250 = -10x^2 + 220x - 960$ . Or un carré est toujours positif ou nul, donc $-10(x - 11)^2 \leqslant 0$ et $B(x) \leqslant 250$ pour tout $x$ . L’égalité n’a lieu que si $x - 11 = 0$ : le maximum 250 est atteint en $x = 11$ et nulle part ailleurs.

Les pièges classiques

Un sens de variation se donne sur un intervalle, jamais « en un point ».
Le maximum est une valeur de $f(x)$ (ici 17 °C) ; il est atteint en une valeur de $x$ (ici 15 h). Ne confonds pas les deux.
On lit la courbe de gauche à droite, toujours.
Une fonction peut atteindre son maximum en plusieurs points : $x^3 - 3x$ sur $[-2\,;\,2]$ atteint 2 en $x = -1$ et en $x = 2$ (teste-la dans l’animation).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Sport : le profil d’une étape de 180 km affiche les cols et les vallées. Un coureur qui sait que la route monte du km 120 au km 135, de 400 m à 1 600 m d’altitude, peut doser son effort avant le sommet.
Économie : une entreprise étudie son bénéfice selon le prix de vente. Trop bas, elle gagne peu par article ; trop haut, elle vend moins. Le maximum de la fonction donne le meilleur prix, comme dans l’exemple du food-truck.
Santé : après la prise d’un comprimé, la concentration du médicament dans le sang augmente pendant environ 2 h, atteint un maximum, puis diminue. Les médecins s’en servent pour fixer l’intervalle entre deux prises.
Énergie : la production d’un panneau solaire croît de l’aube jusqu’à environ 13 h 30, puis décroît. Connaître ce maximum (par exemple 3 kW) permet de dimensionner l’onduleur.
Météo : les applis affichent la température minimale (souvent vers 6 h) et maximale (vers 15 h) de la journée : ce sont exactement les extremums de la fonction « température ».

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Une fonction f est décroissante sur [0 ; 5]. Que peut-on dire de f(1) et f(3) ?
Le tableau de f sur [−3 ; 4] est : f(−3) = 2, ↗ jusqu’à f(1) = 7, puis ↘ jusqu’à f(4) = −1. Quel est le maximum de f ?
Avec le même tableau, quel est le minimum de f sur [−3 ; 4] ?
Avec le même tableau, en quelle valeur de x le maximum est-il atteint ?
La hauteur d’une balle de tennis lancée vers le haut est h(t) = −5t² + 10t + 1 (en m), maximale pour t = 1 s. Quelle est cette hauteur maximale (en m) ?
Un cycliste monte un col du km 20 (altitude 300 m) au km 32 (altitude 1 500 m), puis descend jusqu’au km 50 (altitude 200 m). Quelle est l’altitude maximale atteinte sur ce parcours (en m) ?