1re 📈 Fonctions Étape 8 / 23 du parcours

Les fonctions du second degré

Fonctions du second degré en 1re : parabole, sommet, forme canonique, discriminant Δ et racines, avec une parabole à piloter en direct.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Fonctions linéaires et fonctions affines

Une fonction du second degré, ax² + bx + c, se dessine en parabole.

Lance un ballon : il monte, atteint un point le plus haut, puis redescend. Sa trajectoire est une parabole, comme le jet d’une fontaine.

Avec ${f(x) = -x^2 + 4x}$ , la courbe culmine au sommet ${S(2\,;\,4)}$ . Après les droites, voici les courbes qui « tournent » !

Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

f(x) = ax^2 + bx + c

où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels, avec $a \neq 0$ . L’expression $ax^2 + bx + c$ s’appelle aussi un trinôme. Sa courbe représentative est une parabole.

Par exemple, $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ (avec $a = 2$ , $b = -3$ , $c = 1$ ) ou $g(x) = -x^2 + 4$ (avec $a = -1$ , $b = 0$ , $c = 4$ ). En revanche, $h(x) = 5x + 2$ n’est pas du second degré : il n’y a pas de terme en $x^2$ .

Un peu d’histoire

Les équations du second degré sont parmi les plus vieux problèmes de mathématiques. Sur des tablettes d’argile babyloniennes vieilles d’environ 3 800 ans, des scribes résolvaient déjà des problèmes comme « l’aire d’un carré plus son côté valent $\frac{3}{4}$ : trouve le côté », avec une méthode qui revient à notre forme canonique. Vers 820, à Bagdad, al-Khwârizmî justifie cette méthode en complétant un carré dessiné. Le mot « parabole » a été donné à la courbe par le Grec Apollonios de Perge, vers 200 av. J.-C., et en 1638 Galilée montre que c’est la trajectoire d’un objet lancé.

La parabole et son sommet

Chaque coefficient joue un rôle. Bouge les curseurs et observe :

le signe de $a$ décide si la parabole est tournée vers le haut ( $a \gt 0$ , comme un sourire) ou vers le bas ( $a \lt 0$ ) ;
$c$ est l’ordonnée du point où la courbe coupe l’axe des ordonnées, car $f(0) = c$ ;
le sommet $S$ (en orange) se déplace, et l’axe de symétrie (en violet) passe toujours par lui.

Garde aussi un œil sur $\Delta$ : quand il devient négatif, la parabole décolle de l’axe des abscisses et les points verts disparaissent.

Sommet et axe de symétrie

La parabole d’équation $y = ax^2 + bx + c$ a pour sommet le point $S(\alpha ; \beta)$ avec

\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha).

La droite d’équation $x = \alpha$ est son axe de symétrie. Si $a \gt 0$ , $\beta$ est le minimum de $f$ ; si $a \lt 0$ , c’est son maximum.

La forme canonique

Tout trinôme peut s’écrire sous une forme qui fait apparaître directement le sommet.

Forme canonique

Pour tout réel $x$ :

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

C’est la forme canonique de $f$ . On y lit le sommet $S(\alpha ; \beta)$ .

Exemple : f(x) = x² − 2x − 3

$a = 1$ , $b = -2$ , $c = -3$ , donc $\alpha = -\dfrac{-2}{2 \times 1} = 1$ .
$\beta = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$ .
Forme canonique : $f(x) = (x - 1)^2 - 4$ . Vérification : $(x - 1)^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3$ . ✔
Comme $a = 1 \gt 0$ , la fonction admet un minimum égal à $-4$ , atteint pour $x = 1$ .

Le discriminant et les racines

Une racine du trinôme est un réel $x$ tel que $ax^2 + bx + c = 0$ . Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses. Pour savoir combien il y en a, on calcule un seul nombre.

Définition

Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le nombre

\Delta = b^2 - 4ac

Racines selon le signe de Δ

Si $\Delta \gt 0$ : deux racines distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Alors $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Si $\Delta = 0$ : une seule racine (dite double) $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ . Alors $f(x) = a(x - x_0)^2$ .
Si $\Delta \lt 0$ : aucune racine réelle, et le trinôme ne se factorise pas.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Tout vient de la forme canonique. On « complète le carré » en utilisant $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}$ :

ax^2 + bx + c = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]

Si $\Delta \lt 0$ , le crochet est la somme d’un carré et d’un nombre strictement positif : il ne s’annule jamais.
Si $\Delta = 0$ , il reste $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ , nul seulement pour $x = -\frac{b}{2a}$ .
Si $\Delta \gt 0$ , on écrit $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$ et on factorise une différence de deux carrés : $\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$ . Le produit nul donne les racines $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Trois cas, trois exemples

Résoudre $x^2 - 2x - 3 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \gt 0$ , et $\sqrt{16} = 4$ . Donc $x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$ . On retrouve les deux points verts du graphique.

Résoudre $x^2 - 6x + 9 = 0$ . $\Delta = 36 - 36 = 0$ : une seule racine $x_0 = \dfrac{6}{2} = 3$ . En effet, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ .

Résoudre $2x^2 + 4x + 5 = 0$ . $\Delta = 16 - 40 = -24 \lt 0$ : pas de solution réelle. La parabole reste au-dessus de l’axe des abscisses.

La balle lancée du toit

Depuis le toit d’un immeuble de 15 m, on lance une balle vers le haut. Sa hauteur (en m) après $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$ . Quelle hauteur maximale atteint-elle, et quand touche-t-elle le sol ?

Le sommet : $\alpha = -\dfrac{10}{2 \times (-5)} = 1$ et $h(1) = -5 + 10 + 15 = 20$ . Comme $a = -5 \lt 0$ , c’est un maximum : la balle monte jusqu’à 20 m, au bout de 1 seconde.
Le sol : on résout $-5t^2 + 10t + 15 = 0$ . $\Delta = 10^2 - 4 \times (-5) \times 15 = 100 + 300 = 400$ , et $\sqrt{400} = 20$ .
$t_1 = \dfrac{-10 - 20}{-10} = 3$ et $t_2 = \dfrac{-10 + 20}{-10} = -1$ . Un temps négatif n’a pas de sens ici : la balle touche le sol au bout de 3 secondes.

Le signe du trinôme

Une fois les racines connues, le signe se lit sur la parabole : le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, et du signe contraire entre elles. Pour $x^2 - 2x - 3$ ( $a = 1 \gt 0$ ), l’expression est positive sur $]-\infty ; -1]$ et sur $[3 ; +\infty[$ , négative sur $[-1 ; 3]$ . Si $\Delta \lt 0$ , le trinôme a toujours le signe de $a$ .

Avant de calculer Δ

Si $c = 0$ , factorise par $x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5)$ , racines $0$ et $5$ . Si $b = 0$ , isole $x^2$ : $x^2 - 9 = 0$ donne $x = -3$ ou $x = 3$ . Tu gagnes du temps et tu évites des erreurs.

Les pièges classiques

Dans $\Delta = b^2 - 4ac$ , $b^2$ est toujours positif : avec $b = -3$ , $b^2 = 9$ , pas $-9$ . Mets des parenthèses : $(-3)^2$ .
Le dénominateur des racines est $2a$ , et tout le numérateur $-b \pm \sqrt{\Delta}$ est divisé par $2a$ .
Ne confonds pas $\alpha$ et les racines : le sommet est au milieu des deux racines, $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Au sport : sans frottements, un ballon tiré au football suit une parabole. Un ballon lancé vers le haut à 15 m/s monte jusqu’à environ $\dfrac{15^2}{2 \times 9{,}8} \approx 11{,}5$ m, au sommet de la parabole.
En sécurité routière : la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse. Elle vaut environ $0{,}0056\,v^2$ m sur route sèche : 14 m à 50 km/h, mais 56 m à 100 km/h, quatre fois plus !
En économie : une entreprise dont le bénéfice vaut $B(x) = -2x^2 + 120x - 1\,000$ (en euros, pour $x$ objets) maximise son bénéfice au sommet, pour $x = 30$ objets : $B(30) = 800$ €.
En technologie : une antenne parabolique ou un phare de voiture a la forme d’une parabole : tous les rayons qui arrivent parallèles se concentrent en un seul point, le foyer, où l’on place le récepteur ou l’ampoule.
En architecture : les câbles des ponts suspendus prennent une forme très proche d’une parabole, ce qui répartit la charge du tablier sur toute la longueur.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut le discriminant Δ de x² + 3x + 2 ?
Une entreprise fabrique x centaines de vélos. Son bénéfice (en milliers d’euros) est B(x) = −2x² + 8x − 1. Pour combien de centaines de vélos le bénéfice est-il maximal ?
Combien de racines réelles le trinôme x² + x + 1 possède-t-il ?
Si a < 0, la parabole est tournée…
f(x) = 3(x + 1)² − 5. Quelle est l’ordonnée du sommet de la parabole ?
Un enclos rectangulaire a un périmètre de 10 m et une aire de 6 m². Si x est un côté, l’autre vaut 5 − x et x(5 − x) = 6, soit x² − 5x + 6 = 0. Combien mesure le plus grand côté (en m) ?

Définition

La parabole et son sommet

La forme canonique

Le discriminant et les racines

Le signe du trinôme

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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