1re 📈 Fonctions Étape 9 / 23 du parcours

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique en 1re : le radian, l’enroulement de la droite des réels, et le cosinus et le sinus de n’importe quel nombre réel.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente

Sur le cercle de rayon 1, un angle donne un point de coordonnées (cos ; sin).

Au collège, cosinus et sinus ne marchaient qu’entre 0° et 90°. Mais une grande roue tourne bien au-delà !

Sur le cercle trigonométrique, l’angle de 60° donne le point $M(0{,}5 ; 0{,}87)$ : $\cos 60° = 0{,}5$ et $\sin 60° \approx 0{,}87$ . Et ça marche pour n’importe quel angle.

Le cercle trigonométrique

Définition

Dans un repère orthonormé $(O ; I, J)$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, que l’on parcourt dans le sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Le rayon vaut 1 : c’est ce qui rend tous les calculs simples, comme tu vas le voir.

Une nouvelle unité d’angle : le radian

Le périmètre d’un cercle de rayon $r$ vaut $2\pi r$ . Pour le cercle trigonométrique, il vaut donc $2\pi$ , soit environ $6{,}28$ . L’idée géniale est de mesurer un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur ce cercle.

Définition

Un angle mesure 1 radian quand il intercepte, sur le cercle trigonométrique, un arc de longueur 1. Un tour complet mesure donc $2\pi$ radians, et :

\pi \text{ rad} = 180^\circ

Pour convertir, on utilise la proportionnalité : un angle de $d$ degrés mesure $\dfrac{d \times \pi}{180}$ radians.

Degrés	0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
Radians	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

Exemple

Convertir 120° en radians : $\dfrac{120 \times \pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}$ .

Convertir $\dfrac{5\pi}{4}$ rad en degrés : $\dfrac{5 \times 180}{4} = 225^\circ$ .

Un peu d’histoire

Pourquoi un tour fait-il 360° ? On pense que l’idée vient des astronomes de Babylone, qui comptaient en base 60 et dont l’année faisait environ 360 jours. La trigonométrie, elle, est née pour l’astronomie : au II^e siècle, Ptolémée publie dans l’Almageste une table de « cordes » de cercle, l’ancêtre de nos tables de sinus. Le radian est bien plus récent : l’idée de mesurer un angle par une longueur d’arc apparaît au XVIII^e siècle (Roger Cotes, Euler), mais le mot « radian » n’est imprimé qu’en 1873, dans des sujets d’examen rédigés par l’ingénieur James Thomson, frère du physicien Lord Kelvin.

Enrouler la droite des réels

Imagine une ficelle graduée, la droite des réels, posée verticalement et tangente au cercle au point $I(1 ; 0)$ . On l’enroule autour du cercle : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans l’autre sens. Chaque réel $x$ vient se poser sur un point $M$ du cercle. On dit que $M$ est le point associé à $x$ .

Comme un tour mesure $2\pi$ , les réels $x$ , $x + 2\pi$ , $x - 2\pi$ , $x + 4\pi$ … tombent tous sur le même point : ce sont des mesures différentes du même angle. Par exemple, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{7\pi}{3}$ ont le même point associé, car $\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi$ .

Cosinus et sinus d’un réel

Définition

Soit $x$ un réel et $M$ le point du cercle trigonométrique associé à $x$ .

le cosinus de $x$ , noté $\cos x$ , est l’abscisse de $M$ ;
le sinus de $x$ , noté $\sin x$ , est l’ordonnée de $M$ .

Autrement dit : $M(\cos x ; \sin x)$ .

Pour un angle aigu, on retrouve exactement les valeurs du collège : dans le triangle rectangle formé par $O$ , $M$ et son projeté sur l’axe des abscisses, l’hypoténuse vaut 1, donc le côté adjacent vaut $\cos x$ et le côté opposé vaut $\sin x$ .

Fais tourner le point $M$ : attrape-le avec la souris ou le doigt, ou appuie sur ▶. Le segment bleu est le cosinus, le rouge est le sinus. À droite, la courbe du sinus se dessine au fur et à mesure que l’angle augmente : c’est la célèbre sinusoïde.

Observe en particulier les angles « ronds » (multiples de 15°) : le point s’y aimante et la mesure s’affiche exactement en fraction de $\pi$ .

Les propriétés à connaître

Pour tout réel x

$-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ ;
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (c’est le théorème de Pythagore dans le cercle de rayon 1) ;
$\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ : les valeurs se répètent tous les tours ;
$\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$ (symétrie par rapport à l’axe des abscisses).

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ? Soit $M(\cos x\,;\,\sin x)$ le point du cercle associé à $x$ , et $H(\cos x\,;\,0)$ le point de l’axe des abscisses situé « sous » ou « au-dessus » de $M$ . Si $M$ n’est sur aucun des axes, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ , avec $OH = |\cos x|$ , $HM = |\sin x|$ et $OM = 1$ (le rayon). Le théorème de Pythagore donne :

OH^2 + HM^2 = OM^2, \quad \text{soit} \quad \cos^2 x + \sin^2 x = 1.

Si $M$ est sur un axe, l’un des deux nombres vaut 0 et l’autre $\pm 1$ : l’égalité reste vraie. Conséquence : $\cos^2 x \leqslant 1$ et $\sin^2 x \leqslant 1$ , d’où l’encadrement entre $-1$ et $1$ .

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Exemple : calculer cos(2π/3) et sin(2π/3)

Le point associé à $\dfrac{2\pi}{3}$ est le symétrique du point associé à $\dfrac{\pi}{3}$ par rapport à l’axe des ordonnées, car $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ .
Cette symétrie change le signe de l’abscisse et garde l’ordonnée.
Donc $\cos \dfrac{2\pi}{3} = -\cos \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exemple : un angle de plus d’un tour

Calculons $\cos \dfrac{13\pi}{6}$ . On écrit $\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi$ . Un tour complet ne change rien, donc $\cos \dfrac{13\pi}{6} = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exemple : la nacelle de la grande roue

Une grande roue a un rayon de 20 m et son centre est à 22 m du sol. On repère une nacelle par l’angle $x$ (en radians) qu’elle a parcouru depuis le point le plus à droite de la roue, dans le sens direct. Sa hauteur est alors $H(x) = 22 + 20 \sin x$ . À quelle hauteur est-elle après avoir tourné de $\dfrac{2\pi}{3}$ ?

D’après l’exemple précédent, $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
$H\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 22 + 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 22 + 10\sqrt{3} \approx 39{,}3$ m.
Au sommet ( $x = \dfrac{\pi}{2}$ ), $H = 22 + 20 = 42$ m ; au point le plus bas ( $x = \dfrac{3\pi}{2}$ ), $H = 22 - 20 = 2$ m.

Retrouver les valeurs sans les apprendre par cœur

Fais un petit dessin du cercle. Le signe se lit sur le quadrant : à gauche de l’axe des ordonnées, le cosinus est négatif ; sous l’axe des abscisses, le sinus est négatif. Il ne reste qu’à retrouver la valeur positive dans le tableau.

Les pièges classiques

Vérifie le mode de ta calculatrice : « RAD » pour les radians, « DEG » pour les degrés. $\cos(60)$ en mode radian ne vaut pas $\frac{1}{2}$ !
Un cosinus ou un sinus supérieur à 1 (ou inférieur à −1) est forcément une erreur de calcul.
$\cos^2 x$ signifie $(\cos x)^2$ , ce n’est pas $\cos(x^2)$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En musique et en acoustique : le la du diapason est une onde de pression qui varie comme $\sin(2\pi \times 440\,t)$ : elle fait 440 tours du cercle trigonométrique par seconde. Les synthétiseurs fabriquent les sons en additionnant des sinusoïdes.
En électricité : la tension d’une prise de courant en France oscille selon $325 \sin(100\pi t)$ volts : 50 allers-retours par seconde (50 Hz), avec un pic à 325 V.
Pour les marées : la hauteur de la mer suit à peu près une sinusoïde de période 12 h 25 min. À Saint-Malo, l’écart entre marée haute et marée basse peut dépasser 12 m.
Dans les jeux vidéo et l’animation : pour faire tourner un objet autour d’un point, le programme calcule sa position $(R\cos x ; R\sin x)$ à chaque image. Un satellite à 100 pixels du centre, à l’angle $\dfrac{\pi}{3}$ , est en $(50 ; 86{,}6)$ .
En astronomie et en GPS : les positions sur Terre se repèrent par des angles (latitude, longitude). Les calculs de distance entre deux villes utilisent cosinus et sinus de ces angles.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la mesure en radians d’un angle de 60° ?
La grande aiguille d’une horloge fait un tour complet (2π rad) en 60 minutes. Elle vient de tourner de π/2 radian. Combien de minutes se sont écoulées ?
Combien vaut cos(π) ?
La hauteur (en m) d’une nacelle de grande roue est H(x) = 12 + 10 sin x, où x est l’angle parcouru en radians. Quelle est sa hauteur pour x = π/6 ?
Pour tout réel x, combien vaut cos²x + sin²x ?
cos(π/3 + 2π) est égal à :

Le cercle trigonométrique

Une nouvelle unité d’angle : le radian

Enrouler la droite des réels

Cosinus et sinus d’un réel

Les propriétés à connaître

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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