1re 📈 Fonctions Étape 10 / 23 du parcours

Les fonctions sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus en 1re : courbes sinusoïdes, périodicité 2π, parité (cos paire, sin impaire), variations et valeurs remarquables.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le cercle trigonométrique , Variations et extremums d’une fonction

Sinus et cosinus décrivent tout ce qui se répète : vagues, marées, grande roue.

Dans une grande roue, ta hauteur monte, descend, remonte… et repasse par les mêmes valeurs à chaque tour. La tension d’une prise ou la marée font pareil.

Tu connais sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique. Leurs courbes se répètent tous les $2\pi$ , soit environ 6,28.

Définition

Pour tout réel $x$ , on note $M$ le point du cercle trigonométrique associé à $x$ .

La fonction cosinus associe à $x$ le nombre $\cos x$ , abscisse de $M$ .
La fonction sinus associe à $x$ le nombre $\sin x$ , ordonnée de $M$ .

Ces deux fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ et prennent leurs valeurs dans $[-1\,;\,1]$ .

Leurs courbes s’appellent des sinusoïdes. La courbe du cosinus est exactement celle du sinus décalée de $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche, car $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ .

Un peu d’histoire

Le mot « sinus » est le fruit d’une erreur de traduction ! Vers le V^e siècle, les astronomes indiens comme Aryabhata appellent la demi-corde d’un arc jyā ou jīvā, la « corde de l’arc ». Les savants arabes reprennent le mot sous la forme jība, écrite sans voyelles : jb. Au XII^e siècle, des traducteurs latins (on cite souvent Gérard de Crémone) le lisent jayb, qui signifie « pli » ou « poche »… et le traduisent par le mot latin sinus, qui veut dire la même chose. Le « cosinus », lui, est le « sinus du complément », un nom raccourci au XVII^e siècle.

Les courbes en mouvement

Déplace le point (curseur, glisser sur le graphique ou ▶ Animer). Le point bleu suit la courbe du cosinus, le rouge celle du sinus. Coche ensuite « parité » pour voir ce qui se passe en $-x$ , puis « période » pour voir le point un tour plus loin.

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques

Pour tout réel $x$ :

\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \text{et} \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x

Ajouter $2\pi$ , c’est faire un tour complet sur le cercle : on revient au même point.

Conséquence pratique : il suffit d’étudier les fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$ , par exemple $[-\pi\,;\,\pi]$ . Le reste de la courbe s’obtient en recopiant ce motif par translations de $2\pi$ vers la droite et vers la gauche.

Parité

Cosinus est paire, sinus est impaire

Pour tout réel $x$ :

$\cos(-x) = \cos x$ : la fonction cosinus est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
$\sin(-x) = -\sin x$ : la fonction sinus est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$ .

Sur le cercle, les points associés à $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : même abscisse (même cosinus), ordonnées opposées (sinus opposés).

Grâce à la parité, on peut même se contenter d’étudier les fonctions sur $[0\,;\,\pi]$ et compléter par symétrie.

Variations

Tableaux de variations sur [0 ; π]

$x$	$0$		$\frac{\pi}{2}$		$\pi$
$\cos x$	$1$	↘	$0$	↘	$-1$
$\sin x$	$0$	↗	$1$	↘	$0$

Le cosinus est maximal (1) en $0$ et minimal (−1) en $\pi$ . Le sinus atteint son maximum 1 en $\frac{\pi}{2}$ et, par imparité, son minimum −1 en $-\frac{\pi}{2}$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : utiliser la période

Calculer $\sin \dfrac{25\pi}{6}$ . On enlève des tours complets : $\dfrac{25\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{24\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2 \times 2\pi$ .

Donc $\sin \dfrac{25\pi}{6} = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Exemple 2 : la grande roue

Une grande roue de 56 m de diamètre a son axe à 30 m du sol et fait un tour en 20 minutes. La hauteur d’une nacelle, $t$ minutes après l’embarquement, est $h(t) = 30 - 28\cos\left(\dfrac{\pi t}{10}\right)$ .

Au départ : $h(0) = 30 - 28 \times 1 = 2$ m (on monte dans la nacelle).
Après 10 min : $h(10) = 30 - 28\cos \pi = 30 + 28 = 58$ m, c’est le sommet.
Après 20 min : $\cos(2\pi) = 1$ , donc $h(20) = 2$ m. La fonction $h$ est périodique, de période 20 min : un tour.

Exemple 3 : étudier une parité

Soit $f(x) = x \sin x$ . Pour tout réel $x$ : $f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)$ .

La fonction $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple 4 : résoudre cos x = 1/2 sur ]−π ; π]

On sait que $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ . Par parité, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ aussi. Sur $]-\pi\,;\,\pi]$ , la droite $y = \frac{1}{2}$ coupe la courbe du cosinus deux fois : les solutions sont $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ .

Les pièges classiques

Les courbes sont tracées avec $x$ en radians : $\pi \approx 3{,}14$ sur l’axe, pas 180.
$\sin(-x) = -\sin x$ mais $\cos(-x) = \cos x$ : ne mélange pas les deux.
Une équation comme $\sin x = 0{,}5$ a une infinité de solutions sur $\mathbb{R}$ (à cause de la période) : précise toujours l’intervalle.
$\cos x$ et $\sin x$ ne dépassent jamais 1 : l’équation $\cos x = 1{,}2$ n’a aucune solution.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Électricité : la tension d’une prise en France est $u(t) = 325 \sin(100\pi t)$ volts. Sa période vaut $\dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02$ s : le courant change de sens 100 fois par seconde (50 Hz).
Musique : le « la » du diapason est un son de 440 Hz. La pression de l’air près de ton oreille varie comme $\sin(880\pi t)$ , avec une période d’environ 0,0023 s.
Marées : à Saint-Malo, la hauteur d’eau varie à peu près comme une sinusoïde de période 12 h 25 min, avec plus de 12 m d’écart entre basse mer et pleine mer lors des grandes marées.
Climat : la durée du jour à Paris suit presque une sinusoïde de période 1 an : environ 16 h le 21 juin et 8 h le 21 décembre, avec une moyenne de 12 h.
Animation et jeux vidéo : pour faire flotter un objet ou osciller un pendule à l’écran, on programme $y = A\sin(\omega t)$ . Changer $A$ règle l’amplitude, changer $\omega$ la vitesse.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?
La fonction cosinus est :
Sachant que sin(π/6) = 0,5, combien vaut sin(−π/6) ?
Combien vaut cos(7π) ?
La hauteur d’une nacelle de grande roue est h(t) = 30 − 28 cos(πt/10) (t en minutes). Quelle est sa hauteur maximale (en m) ?
La tension d’une prise vaut u(t) = 325 sin(100πt). Combien de fois par seconde ce motif se répète-t-il (en Hz) ?