1re 📈 Fonctions Étape 11 / 23 du parcours

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé en 1re : taux d’accroissement, sécante qui devient tangente quand h tend vers 0, et équation de la tangente à une courbe.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les fonctions du second degré

Le nombre dérivé, c’est la pente d’une courbe en un point précis.

Une voiture fait 120 km en 2 heures : 60 km/h en moyenne. Mais au radar, le compteur affiche 90 km/h. Cette vitesse à un instant précis, c’est un nombre dérivé.

Sur une courbe, il se lit avec la droite qui « frôle » la courbe : la tangente. Ici, en $A$ , on avance de 1 et on monte de 2 : la pente vaut 2.

Le taux d’accroissement

Commençons par la version « moyenne ». On regarde comment évolue $f(x)$ quand $x$ passe de $a$ à $a + h$ , avec $h \neq 0$ .

Définition

Soit $f$ une fonction, $a$ un réel de son ensemble de définition et $h$ un réel non nul. Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Graphiquement, c’est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points $A(a ; f(a))$ et $B(a + h ; f(a + h))$ . Cette droite $(AB)$ s’appelle une sécante à la courbe.

C’est l’équivalent de la vitesse moyenne : « variation de $f$ » divisée par « variation de $x$ ».

Quand h tend vers 0

Rapprochons maintenant le point $B$ du point $A$ , en faisant devenir $h$ de plus en plus petit. La sécante pivote autour de $A$ … et finit par se coller à une droite bien précise : la tangente à la courbe en $A$ .

Appuie sur ▶ pour faire tendre $h$ vers 0, ou bouge le curseur toi-même. Regarde la sécante orange se rapprocher de la tangente verte en pointillés, et le taux d’accroissement se rapprocher de $f'(a)$ . Tu peux aussi faire glisser le point $A$ sur la courbe, et changer de fonction.

Nombre dérivé

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel quand $h$ tend vers $0$ . Ce nombre s’appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Un peu d’histoire

Le nombre dérivé est né d’une des plus célèbres disputes de l’histoire des sciences. Vers 1665-1666, le jeune Anglais Isaac Newton invente son « calcul des fluxions » pour étudier les vitesses et les mouvements des planètes, mais il ne le publie pas. En 1684, l’Allemand Gottfried Wilhelm Leibniz publie de son côté une méthode équivalente, avec les notations $dx$ et $dy$ que les physiciens utilisent encore. Chacun accuse l’autre de plagiat ; en 1712, la Royal Society de Londres donne raison à Newton… dans un rapport rédigé en secret par Newton lui-même ! Aujourd’hui, on considère qu’ils ont découvert le calcul différentiel indépendamment. La notation $f'(a)$ , elle, vient du Français Lagrange, en 1797.

Calculer un nombre dérivé

Exemple : f(x) = x² en a = 3

On calcule $f(3 + h) = (3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2$ .
Le taux d’accroissement vaut $\dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \dfrac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h$ (on peut simplifier par $h$ , qui n’est pas nul).
Quand $h$ tend vers $0$ , $6 + h$ tend vers $6$ .
Donc $f$ est dérivable en 3 et $f'(3) = 6$ .

Le même calcul pour un réel $a$ quelconque donne $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ , qui tend vers $2a$ . Pour $f(x) = x^2$ , on a donc toujours $f'(a) = 2a$ : c’est ce qu’affiche le widget.

Exemple : la vitesse d’une pierre qui tombe

On lâche une pierre du haut d’une falaise. Si on néglige les frottements de l’air, la distance parcourue après $t$ secondes vaut environ $d(t) = 5t^2$ mètres. Quelle est sa vitesse au bout de 3 secondes ?

Taux d’accroissement entre 3 et $3 + h$ : $\dfrac{5(3 + h)^2 - 5 \times 9}{h} = \dfrac{30h + 5h^2}{h} = 30 + 5h$ .
Entre 3 s et 4 s ( $h = 1$ ), la vitesse moyenne est de 35 m/s ; entre 3 s et 3,1 s, de 30,5 m/s.
Quand $h$ tend vers 0, $30 + 5h$ tend vers 30 : $d'(3) = 30$ .

La vitesse instantanée de la pierre à 3 s est de 30 m/s, soit 108 km/h. La vitesse instantanée, c’est le nombre dérivé de la distance !

La tangente à la courbe

Équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a ; f(a))$ est la droite qui passe par $A$ et qui a pour coefficient directeur $f'(a)$ . Son équation est

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Une droite non verticale a une équation de la forme $y = mx + p$ . La tangente a pour coefficient directeur $m = f'(a)$ , donc son équation est $y = f'(a)\,x + p$ .

Elle passe par $A(a\,;\,f(a))$ , donc les coordonnées de $A$ vérifient l’équation :

f(a) = f'(a) \times a + p \quad\Longrightarrow\quad p = f(a) - f'(a) \times a

En remplaçant : $y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a)\,a = f'(a)(x - a) + f(a)$ . C’est bien la formule annoncée.

Exemple : tangente à la parabole y = x² au point d’abscisse 3

$f(3) = 9$ et, d’après l’exemple précédent, $f'(3) = 6$ .
$y = 6(x - 3) + 9$
$y = 6x - 18 + 9$ , donc la tangente a pour équation $y = 6x - 9$ .

Vérification : pour $x = 3$ , on trouve bien $y = 18 - 9 = 9 = f(3)$ .

Exemple : lire un nombre dérivé sur un graphique

Sur un graphique, la tangente en $A(2 ; 1)$ passe aussi par le point $(4 ; 5)$ . Son coefficient directeur vaut $\dfrac{5 - 1}{4 - 2} = \dfrac{4}{2} = 2$ . Donc $f'(2) = 2$ .

Si la tangente est horizontale, son coefficient directeur est nul : $f'(a) = 0$ . C’est ce qui arrive au sommet d’une parabole. Avec la fonction $x^3 - 3x$ du widget, place $A$ en $x = 1$ pour le voir.

Ce que dit le nombre dérivé

Le signe et la taille de $f'(a)$ décrivent l’allure de la courbe près de $A$ :

$f'(a) \gt 0$ : la tangente « monte », la courbe est croissante autour de $a$ ;
$f'(a) \lt 0$ : la tangente « descend » ;
plus $|f'(a)|$ est grand, plus la courbe est raide.

C’est le point de départ de l’étude des variations d’une fonction grâce à la fonction dérivée $f' : x \mapsto f'(x)$ .

La méthode en trois temps

Pour calculer $f'(a)$ avec la définition : 1) développe $f(a + h) - f(a)$ ; 2) factorise par $h$ et simplifie ; 3) remplace $h$ par $0$ dans ce qui reste.

Les pièges classiques

On ne peut jamais remplacer $h$ par $0$ avant d’avoir simplifié : on obtiendrait $\frac{0}{0}$ , qui n’a pas de sens.
$f'(a)$ est un nombre, alors que la tangente est une droite. Ne confonds pas « calculer $f'(a)$ » et « donner l’équation de la tangente ».
Une tangente peut traverser la courbe (c’est le cas pour $x^3 - 3x$ en $x = 0$ ) : « tangente » ne veut pas dire « qui touche sans couper ».

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour les radars routiers : un radar mesure la vitesse instantanée d’une voiture, c’est-à-dire le nombre dérivé de sa position. Une voiture peut avoir 60 km/h de moyenne sur un trajet et être flashée à 95 km/h à un instant précis.
En médecine : sur une courbe de concentration d’un médicament dans le sang, le nombre dérivé donne la vitesse d’élimination. Si la concentration baisse de 2 mg/L par heure à $t = 4$ h, le médecin sait quand la dose deviendra trop faible.
En économie : si le coût de production de $x$ objets est $C(x) = x^2 + 10x$ euros, le « coût marginal » $C'(100) = 210$ € estime ce que coûte la fabrication du 101ᵉ objet.
Dans les jeux vidéo et le dessin numérique : les courbes lisses (courbes de Bézier) sont dessinées en contrôlant la tangente en chaque point. Les poignées que tu tires dans un logiciel de dessin, ce sont des tangentes !
En épidémiologie : pendant une épidémie, le nombre dérivé du nombre de malades indique la vitesse de propagation. S’il passe de +500 à +200 malades par jour, la courbe commence à s’aplatir.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Pour f(x) = x², le taux d’accroissement entre 1 et 1 + h (h ≠ 0) vaut :
f(x) = x². Combien vaut f′(3) ?
Une pierre lâchée d’une falaise a parcouru d(t) = 5t² mètres au bout de t secondes. Quelle est sa vitesse instantanée d′(2) au bout de 2 secondes (en m/s) ?
Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d’abscisse 1 ?
Une population de bactéries compte P(2) = 5 milliers d’individus au bout de 2 heures, et grandit à ce moment-là à la vitesse P′(2) = 3 milliers par heure. En utilisant la tangente, estime P(2,5) (en milliers).
En un point où la tangente est horizontale, le nombre dérivé vaut :