1re 📈 Fonctions Étape 12 / 23 du parcours

Dérivées usuelles et règles de calcul

Dérivées usuelles et règles de calcul en 1re : tableau des dérivées de référence, dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient et de g(ax + b).

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Nombre dérivé et tangente , La fonction inverse , La fonction racine carrée

Avec un petit catalogue et quelques règles, tu dérives presque tout en quelques lignes.

Ton GPS connaît ta position à chaque seconde ; un radar mesure ta vitesse. Passer de l’une à l’autre, c’est dériver.

Plus besoin de calculer une limite point par point : par exemple, la dérivée de $x^3$ est $3x^2$ , en tout point.

La fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable en tout point d’un intervalle $I$ . La fonction dérivée de $f$ , notée $f'$ , est la fonction qui à chaque $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ , c’est-à-dire la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x$ .

Dans l’animation, la tangente orange glisse le long de la courbe de $f$ (en haut). Sa pente est reportée comme une hauteur dans le graphique du bas : point après point, on voit se dessiner la courbe de $f'$ . Appuie sur ▶ « Balayer », puis change de fonction. Observe : là où la tangente est horizontale, $f'$ coupe l’axe des abscisses.

Un peu d’histoire

Le calcul des dérivées a été inventé presque en même temps par deux génies : l’Anglais Isaac Newton, vers 1665-1666, qui parlait de « fluxions » pour étudier le mouvement, et l’Allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, qui publie le premier article sur le sujet en 1684. Leur rivalité a tourné à la querelle : chaque camp accusait l’autre de plagiat, et en 1712 une commission de la Royal Society — dont Newton, son président, rédigea lui-même le rapport ! — donna raison à Newton. Aujourd’hui, on considère qu’ils ont fait la découverte chacun de leur côté. Le mot « dérivée » et la notation $f'$ viennent d’un troisième homme, Joseph-Louis Lagrange, vers 1797.

Les dérivées usuelles

Tableau des dérivées de référence

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Dérivable sur
$k$ (constante)	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^2$	$2x$	$\mathbb{R}$
$x^3$	$3x^2$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n$ entier, $n \geqslant 1$ )	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$

Attention au dernier : la racine carrée est définie en 0 mais pas dérivable en 0. La tangente y est verticale, et une droite verticale n’a pas de coefficient directeur (teste $\sqrt{x}$ dans l’animation, près de 0).

Les règles de calcul

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

Opérations sur les dérivées

Fonction	Dérivée	Condition
$u + v$	$u' + v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$u'v + uv'$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$	$v$ ne s’annule pas sur $I$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$	$v$ ne s’annule pas sur $I$
$g(ax + b)$	$a\,g'(ax + b)$

Grâce aux deux premières règles, tous les polynômes se dérivent terme à terme : $(5x^3 - 4x^2 + 7x - 1)' = 15x^2 - 8x + 7$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

D’où vient la formule $(uv)' = u'v + uv'$ ? On écrit le taux d’accroissement de $uv$ entre $x$ et $x + h$ , en ajoutant et en retranchant $u(x)\,v(x+h)$ au numérateur :

\frac{u(x+h)\,v(x+h) - u(x)\,v(x)}{h} = \frac{u(x+h) - u(x)}{h}\, v(x+h) + u(x)\, \frac{v(x+h) - v(x)}{h}

Quand $h$ tend vers 0, le premier quotient tend vers $u'(x)$ , le second vers $v'(x)$ , et $v(x+h)$ tend vers $v(x)$ (car $v$ , dérivable, est continue). On obtient $u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)$ . Avec $u(x) = v(x) = x$ , on retrouve $(x^2)' = 1 \times x + x \times 1 = 2x$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : la vitesse d’un ballon

Un ballon est lancé vers le haut. Sa hauteur (en m) après $t$ secondes est $h(t) = -4{,}9t^2 + 12t + 1{,}5$ . Sa vitesse est la dérivée de sa hauteur.

On dérive terme à terme : $h'(t) = -4{,}9 \times 2t + 12 = -9{,}8t + 12$ .
Après 0,5 s : $h'(0{,}5) = -4{,}9 + 12 = 7{,}1$ m/s, le ballon monte encore.
La vitesse s’annule quand $-9{,}8t + 12 = 0$ , soit $t \approx 1{,}22$ s : c’est le moment où le ballon est au plus haut.

Exemple 2 : un produit

Dérivons $f(x) = (2x + 1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .

On pose $u(x) = 2x + 1$ , donc $u'(x) = 2$ ; et $v(x) = \sqrt{x}$ , donc $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$f'(x) = u'v + uv' = 2\sqrt{x} + \dfrac{2x + 1}{2\sqrt{x}}$ .
Au même dénominateur : $f'(x) = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$ .

Exemple 3 : un quotient

Dérivons $g(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sur $]-2\,;\,+\infty[$ , où $x + 2$ ne s’annule pas.

$u(x) = 3x - 1$ , $u'(x) = 3$ ; $v(x) = x + 2$ , $v'(x) = 1$ .
$g'(x) = \dfrac{3(x + 2) - (3x - 1) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{3x + 6 - 3x + 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{7}{(x + 2)^2}$ .

Exemple 4 : la forme g(ax + b)

$f(x) = (5x - 2)^3$ : avec $g(X) = X^3$ , $g'(X) = 3X^2$ et $a = 5$ , on obtient $f'(x) = 5 \times 3(5x - 2)^2 = 15(5x - 2)^2$ .
$k(x) = \sqrt{4x + 1}$ : $k'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{4x + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x + 1}}$ .

Les pièges classiques

La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : $(uv)' \neq u'v'$ . Par exemple $(x \times x)' = 2x$ , et non $1 \times 1 = 1$ .
Dans $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ , l’ordre compte : c’est $u'v$ moins $uv'$ .
Une constante qui multiplie reste : $(7x^2)' = 14x$ . Une constante qui s’ajoute disparaît : $(x^2 + 7)' = 2x$ .
Avant de dériver, vérifie où la fonction est dérivable (division par 0, racine en 0…).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Physique : la vitesse est la dérivée de la position, et l’accélération la dérivée de la vitesse. Pour une voiture dont la position est $x(t) = 1{,}5t^2$ (en m), la vitesse vaut $x'(t) = 3t$ , soit 30 m/s (108 km/h) au bout de 10 s.
Économie : le coût marginal est la dérivée du coût total, c’est le coût de la pièce suivante. Si $C(q) = 0{,}01q^3 - 0{,}6q^2 + 15q + 200$ euros, alors $C'(30) = 27 - 36 + 15 = 6$ € : fabriquer une 31ᵉ pièce coûte environ 6 €.
Médecine : la dérivée de la concentration d’un médicament dans le sang indique à quelle vitesse il est éliminé (par exemple −0,4 mg/L par heure), ce qui aide à fixer les doses.
Ingénierie : pour dessiner une route ou un toboggan sans à-coup, on raccorde les courbes de façon que les dérivées soient égales aux points de jonction : la pente ne change pas brutalement.
Intelligence artificielle : un réseau de neurones apprend en calculant des millions de dérivées (la « descente de gradient ») pour savoir dans quel sens corriger chacun de ses réglages.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la dérivée de f(x) = 4x³ − 5x + 2 ?
Si f(x) = x² + 3x, combien vaut f′(2) ?
Quelle est la dérivée de f(x) = 1/x ?
Quelle est la dérivée de f(x) = (3x + 1)² ?
La position d’un skieur sur une piste est d(t) = 2t² + 3t (en m, t en s). Quelle est sa vitesse (en m/s) à t = 5 s ?
Le coût de fabrication de q vélos est C(q) = 0,5q² + 40q + 1 000 (en €). Combien vaut le coût marginal C′(100) (en €) ?