1re 📈 Fonctions Étape 13 / 23 du parcours

Sens de variation et dérivée

Sens de variation et dérivée en 1re : le signe de f′ donne les variations de f, tableau de variations complet et recherche d’extremums.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Dérivées usuelles et règles de calcul , Variations et extremums d’une fonction , Les fonctions du second degré

Dérivée positive : la fonction monte. Dérivée négative : elle descend.

Tu découpes un carré de xx cm à chaque coin d’un carton de 30 cm, puis tu replies les bords pour faire une boîte. Trop petits ou trop grands, les carrés donnent une boîte minuscule.

Le volume monte, puis descend. Le sommet est là où la dérivée change de signe : pour x=5x = 5 cm, la boîte contient 2 litres.

V′ > 0V′ = 0V′ < 05x

Le lien entre f′ et les variations de f

Le nombre dérivé f′(a)f'(a) est la pente de la tangente au point d’abscisse aa. Si cette pente est positive, la tangente monte, et la courbe aussi autour de ce point. Si elle est négative, la tangente et la courbe descendent.

Fais glisser la tangente le long de la courbe (curseur, glisser sur le graphique ou ▶). Elle devient verte quand f′(a)>0f'(a) > 0, rouge quand f′(a)<0f'(a) < 0 et orange quand elle est horizontale. En dessous, l’aire verte de la courbe de f′f' correspond exactement aux zones où ff monte, et le tableau rassemble le tout. Essaie aussi la fonction x3x^3 : sa dérivée s’annule en 0… et pourtant la fonction ne redescend jamais !

Signe de la dérivée et variations

Théorème (admis)

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II.

  • Si f′(x)⩾0f'(x) \geqslant 0 pour tout x∈Ix \in I, alors ff est croissante sur II.
  • Si f′(x)⩽0f'(x) \leqslant 0 pour tout x∈Ix \in I, alors ff est décroissante sur II.
  • Si f′(x)=0f'(x) = 0 pour tout x∈Ix \in I, alors ff est constante sur II.

Si de plus f′f' ne s’annule qu’en des points isolés, la monotonie est stricte.

Un peu d’histoire

En 1613, l’astronome allemand Johannes Kepler prépare son mariage et achète du vin. Le marchand mesure le volume des tonneaux en plongeant une simple tige en biais par le trou de remplissage, quelle que soit leur forme. Intrigué, Kepler étudie la question et publie en 1615 un livre sur le volume des tonneaux. Il y remarque un fait étonnant : près de la forme qui donne le plus grand volume, une petite modification ne change presque pas le volume. C’est l’idée que la dérivée s’annule au maximum ! Une vingtaine d’années plus tard, Pierre de Fermat transforme cette remarque en une vraie méthode de calcul des maximums et des minimums.

Les extremums locaux

Dérivée et extremum

Soit ff dérivable sur un intervalle ouvert II et a∈Ia \in I.

  • Si f′f' s’annule en aa en changeant de signe, alors f(a)f(a) est un extremum local de ff : un maximum si f′f' passe de ++ à −-, un minimum si f′f' passe de −- à ++.
  • Réciproquement, si ff admet un extremum local en aa, alors f′(a)=0f'(a) = 0 : la tangente y est horizontale.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi f′(a)=0f'(a) = 0 quand ff a un maximum local en aa ? Pour hh assez petit, f(a+h)⩽f(a)f(a + h) \leqslant f(a), donc f(a+h)−f(a)⩽0f(a + h) - f(a) \leqslant 0. Regardons le taux d’accroissement :

  • si h>0h > 0 : f(a+h)−f(a)h⩽0\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \leqslant 0 (négatif divisé par positif), donc sa limite f′(a)f'(a) est ⩽0\leqslant 0 ;
  • si h<0h < 0 : f(a+h)−f(a)h⩾0\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \geqslant 0 (négatif divisé par négatif), donc f′(a)⩾0f'(a) \geqslant 0.

Le nombre f′(a)f'(a) est à la fois ⩽0\leqslant 0 et ⩾0\geqslant 0 : il vaut 00. Même raisonnement pour un minimum.

« Local » signifie : c’est le plus haut (ou le plus bas) point dans les environs, pas forcément sur tout l’intervalle d’étude.

La méthode en 4 étapes

Étudier les variations d’une fonction
  1. Dériver : calculer f′(x)f'(x) avec les formules.
  2. Factoriser f′(x)f'(x) si possible, pour en étudier le signe facilement.
  3. Étudier le signe de f′(x)f'(x) dans un tableau de signes.
  4. Conclure avec le tableau de variations, en calculant les images aux bornes et aux points où f′f' s’annule.
Exemple 1 : une fonction polynôme de degré 3

Étudions f(x)=x33−x2−3x+2f(x) = \dfrac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 2 sur [−3 ; 5][-3\,;\,5] (c’est la première fonction de l’animation).

  1. f′(x)=x2−2x−3f'(x) = x^2 - 2x - 3.
  2. On cherche les racines : Δ=4+12=16\Delta = 4 + 12 = 16, d’où x1=2−42=−1x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1 et x2=2+42=3x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3. Donc f′(x)=(x+1)(x−3)f'(x) = (x + 1)(x - 3).
  3. Un trinôme avec a=1>0a = 1 > 0 est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
  4. On calcule f(−3)=−7f(-3) = -7, f(−1)=113f(-1) = \dfrac{11}{3}, f(3)=−7f(3) = -7 et f(5)=113f(5) = \dfrac{11}{3}.
xx−3-3−1-13355
signe de f′(x)f'(x)++00−-00++
variations de ff−7-7↗113\frac{11}{3}↘−7-7↗113\frac{11}{3}

ff admet un maximum local 113\frac{11}{3} en −1-1 et un minimum local −7-7 en 33.

Exemple 2 : la boîte de volume maximal

On découpe des carrés de côté xx cm (avec 0<x<150 < x < 15) aux coins de la plaque de 30 cm. La boîte a un fond carré de côté 30−2x30 - 2x et une hauteur xx : V(x)=x(30−2x)2V(x) = x(30 - 2x)^2.

  1. Avec la règle du produit (u=xu = x, v=(30−2x)2v = (30 - 2x)^2, v′=−4(30−2x)v' = -4(30 - 2x)) : V′(x)=(30−2x)2−4x(30−2x)V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x).
  2. On factorise par (30−2x)(30 - 2x) : V′(x)=(30−2x)(30−6x)V'(x) = (30 - 2x)(30 - 6x).
  3. Sur ]0 ; 15[]0\,;\,15[, 30−2x>030 - 2x > 0. Le signe de V′V' est celui de 30−6x30 - 6x : positif si x<5x < 5, négatif si x>5x > 5.
  4. VV est croissante sur ]0 ; 5]]0\,;\,5] puis décroissante sur [5 ; 15[[5\,;\,15[. Le volume maximal est V(5)=5×202=2 000V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000 cm³, soit 2 litres, pour des carrés de 5 cm.
Les pièges classiques
  • f′(a)=0f'(a) = 0 ne suffit pas pour avoir un extremum : il faut que f′f' change de signe. Pour f(x)=x3f(x) = x^3, f′(0)=0f'(0) = 0 mais f′(x)=3x2⩾0f'(x) = 3x^2 \geqslant 0 : ff est croissante partout, sans maximum ni minimum.
  • On étudie le signe de f′f', pas ses variations : ne mélange pas les deux lignes du tableau.
  • Le théorème ne marche que sur un intervalle : pour 1x\frac{1}{x}, on étudie séparément ]−∞ ; 0[]-\infty\,;\,0[ et ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.
  • Pense aux bornes : le maximum sur tout l’intervalle peut se trouver au bord (dans l’exemple 1, f(5)=f(−1)f(5) = f(-1)).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Emballage : comme pour la boîte en carton, les industriels cherchent la forme de canette qui utilise le moins d’aluminium pour 33 cL. Le calcul avec la dérivée donne une canette aussi haute que large ; les vraies sont plus hautes pour tenir dans la main.
  • Entreprise : si le bénéfice est B(q)=−q2+10q−16B(q) = -q^2 + 10q - 16 (en milliers d’euros, pour qq centaines d’objets), alors B′(q)=−2q+10B'(q) = -2q + 10 s’annule en q=5q = 5 : produire 500 objets donne le bénéfice maximal de 9 000 €.
  • Sport : au lancer du poids, la distance dépend de l’angle de lancer. En étudiant le signe de la dérivée, on trouve un angle optimal proche de 40° pour un lancer qui part d’environ 2 m de haut.
  • Médecine : la concentration d’un médicament C(t)=20tt2+4C(t) = \dfrac{20t}{t^2 + 4} (en mg/L) a pour dérivée C′(t)=20(4−t2)(t2+4)2C'(t) = \dfrac{20(4 - t^2)}{(t^2 + 4)^2}, qui change de signe en t=2t = 2 : le pic de 5 mg/L est atteint au bout de 2 heures.
  • Transport : la consommation d’une voiture en fonction de la vitesse décroît puis croît. Son minimum, souvent vers 70–80 km/h, se trouve là où la dérivée s’annule.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Sur [0 ; 4], f′(x) = 2x + 1. La fonction f est :

  2. f′(x) = (x − 2)(x + 5). En quelle valeur de x f admet-elle un minimum local ?

  3. La fonction f(x) = x³ a-t-elle un extremum en 0 ?

  4. Soit f(x) = x² − 6x + 1. Pour quelle valeur de x la dérivée s’annule-t-elle ?

  5. Le bénéfice d’un artisan est B(x) = −2x² + 80x − 300 (en €, x objets vendus). Combien d’objets doit-il vendre pour un bénéfice maximal ?

  6. Avec la même fonction, quel est ce bénéfice maximal (en €) ?

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