1re 📈 Fonctions Étape 14 / 23 du parcours

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle en 1re : définition par exp′ = exp et exp(0) = 1, le nombre e ≈ 2,718, propriétés algébriques, signe et variations.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Sens de variation et dérivée , Suites arithmétiques et géométriques , Les puissances

La fonction exponentielle est sa propre dérivée : sa pente égale sa hauteur.

Plus des bactéries sont nombreuses, plus elles se multiplient vite : 1 000 bactéries en produisent deux fois plus que 500.

La vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité : ${f' = kf}$ . Le cas le plus simple, ${f' = f}$ , définit la fonction exponentielle.

Définition

Définition (théorème admis)

Il existe une unique fonction $f$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ , telle que :

f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1

On l’appelle la fonction exponentielle et on la note $\exp$ . Ainsi $\exp'(x) = \exp(x)$ pour tout réel $x$ , et $\exp(0) = 1$ .

C’est une fonction qui est sa propre dérivée : en chaque point, la pente de la tangente est égale à la hauteur de la courbe. Déplace le point avec le curseur $a$ : le triangle de pente a toujours une base de 1 et une hauteur égale à $\mathrm{e}^a$ , la tangente coupe donc l’axe des abscisses en $a - 1$ . Coche « comparer » : parmi les fonctions $2^x$ , $\mathrm{e}^x$ et $3^x$ , seule $\mathrm{e}^x$ a une tangente de pente exactement 1 en 0.

Le nombre e et la notation eˣ

Définition

On note $\mathrm{e} = \exp(1)$ . C’est un nombre irrationnel : $\mathrm{e} \approx 2{,}718\,28$ .

Pourquoi « exponentielle » ? Parce que cette fonction transforme les sommes en produits, exactement comme les puissances : $\exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b)$ . On en déduit que $\exp(n) = \mathrm{e}^n$ pour tout entier $n$ , et on étend cette écriture : pour tout réel $x$ , on note $\exp(x) = \mathrm{e}^x$ .

Le nombre $\mathrm{e}$ apparaît aussi en finance. Place 1 € à 100 % d’intérêts par an. Si les intérêts sont versés une fois, tu as 2 € au bout d’un an. Versés deux fois (50 % à chaque fois) : $1{,}5^2 = 2{,}25$ €. Versés $n$ fois : $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ €. Augmente $n$ ci-dessous : le capital ne grimpe pas à l’infini, il se rapproche de… $\mathrm{e}$ !

Un peu d’histoire

En 1683, le mathématicien suisse Jacques Bernoulli se pose exactement la question des intérêts ci-dessus : que devient 1 € placé à 100 % si l’on verse les intérêts de plus en plus souvent ? Il montre que le capital reste coincé entre 2 et 3, sans trouver la valeur exacte. Vers 1730, Leonhard Euler baptise ce nombre « e » et en calcule à la main de nombreuses décimales. Pourquoi cette lettre ? Personne ne le sait vraiment : initiale d’« exponentielle », ou simplement première voyelle disponible… En 1873, le Français Charles Hermite prouve que e est encore plus « sauvage » qu’un irrationnel : il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

Les propriétés algébriques

Règles de calcul

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier relatif $n$ :

\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b \qquad \mathrm{e}^{-a} = \frac{1}{\mathrm{e}^a} \qquad \mathrm{e}^{a-b} = \frac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} \qquad \left(\mathrm{e}^a\right)^n = \mathrm{e}^{na}

Ce sont les mêmes règles que pour les puissances, que tu connais depuis le collège. En particulier, la suite $\left(\mathrm{e}^{na}\right)$ est géométrique de raison $\mathrm{e}^a$ , puisque $\mathrm{e}^{(n+1)a} = \mathrm{e}^{na} \times \mathrm{e}^a$ .

Signe et variations

Signe et sens de variation

Pour tout réel $x$ , $\mathrm{e}^x > 0$ : la courbe est entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , car sa dérivée $\mathrm{e}^x$ est strictement positive.
Par conséquent : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ et $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ .

Dérivée de e^(ax+b)

Pour tous réels $a$ et $b$ , la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $x \mapsto a\,\mathrm{e}^{ax+b}$ .

Ainsi, $f(x) = \mathrm{e}^{kx}$ vérifie $f' = k f$ : c’est exactement le modèle des bactéries ( $k > 0$ , croissance) ou d’un médicament éliminé par le corps ( $k < 0$ , décroissance).

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi $\mathrm{e}^x$ ne s’annule jamais ? Pose $g(x) = \exp(x) \times \exp(-x)$ . Avec la dérivée d’un produit (et $\exp(-x)$ qui a pour dérivée $-\exp(-x)$ ) :

g'(x) = \exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) = 0.

Donc $g$ est constante, égale à $g(0) = 1 \times 1 = 1$ . Ainsi $\exp(x) \times \exp(-x) = 1$ pour tout réel $x$ : un produit qui vaut 1 ne peut pas avoir de facteur nul, donc $\exp(x) \neq 0$ .

Pourquoi est-elle positive ? $\exp(x) = \exp\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = \left(\exp\frac{x}{2}\right)^2$ : c’est un carré non nul, donc il est strictement positif. Et comme $\exp' = \exp > 0$ , la fonction est strictement croissante.

Exemples résolus

Exemple 1 : simplifier une expression

$\dfrac{\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x+1}} = \dfrac{\mathrm{e}^{3x - x}}{\mathrm{e}^{x+1}} = \mathrm{e}^{2x - (x+1)} = \mathrm{e}^{x - 1}$ .

Exemple 2 : résoudre une équation et une inéquation

$\mathrm{e}^{2x - 1} = 1$ . Comme $1 = \mathrm{e}^0$ , on obtient $2x - 1 = 0$ , soit $x = \dfrac{1}{2}$ .
$\mathrm{e}^{3x} > \mathrm{e}^{x + 4}$ . La fonction exponentielle est strictement croissante, donc $3x > x + 4$ , soit $x > 2$ . Solutions : $]2\,;\,+\infty[$ .

Exemple 3 : l’élimination d’un médicament

Après une injection, la concentration d’un médicament dans le sang est $C(t) = 20\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ (en mg/L, $t$ en heures).

Au départ : $C(0) = 20\,\mathrm{e}^0 = 20$ mg/L.
Dérivée : $C'(t) = 20 \times (-0{,}2)\,\mathrm{e}^{-0{,}2t} = -4\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ . Elle est strictement négative : la concentration diminue sans cesse.
Chaque heure, la concentration est multipliée par $\mathrm{e}^{-0{,}2} \approx 0{,}82$ : elle baisse d’environ 18 % par heure. Après 5 h : $C(5) = 20\,\mathrm{e}^{-1} \approx 7{,}4$ mg/L.

Les pièges classiques

$\mathrm{e}^{a+b} \neq \mathrm{e}^a + \mathrm{e}^b$ : c’est un produit, $\mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b$ .
$\mathrm{e}^x$ n’est jamais nul ni négatif : l’équation $\mathrm{e}^x = -3$ n’a pas de solution.
La dérivée de $\mathrm{e}^x$ est $\mathrm{e}^x$ , et pas $x\,\mathrm{e}^{x-1}$ : ce n’est pas une puissance $x^n$ , ici c’est l’exposant qui varie.
$\mathrm{e}^{-x}$ n’est pas négatif : $\mathrm{e}^{-2} = \frac{1}{\mathrm{e}^2} \approx 0{,}135$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Biologie : une colonie de bactéries qui double toutes les 20 minutes suit $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{kt}$ . En partant d’une seule bactérie, on dépasse 1 milliard en 10 heures environ ( $2^{30} \approx 1{,}07 \times 10^9$ ).
Médecine : la concentration d’un médicament décroît comme $C_0\,\mathrm{e}^{-kt}$ . Les médecins en déduisent la demi-vie (environ 2 h pour l’ibuprofène) pour espacer les prises.
Physique nucléaire : le carbone 14 se désintègre selon $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-0{,}000121t}$ ( $t$ en années). Mesurer la proportion restante dans un os permet de le dater : c’est la datation au carbone 14.
Finance : un placement à intérêts « composés en continu » au taux de 3 % vaut $C_0\,\mathrm{e}^{0{,}03t}$ . 1 000 € deviennent environ 1 350 € en 10 ans.
Physique : un café à 80 °C dans une pièce à 20 °C refroidit selon $T(t) = 20 + 60\,\mathrm{e}^{-0{,}05t}$ ( $t$ en minutes). Au bout de 20 minutes, il est à environ 42 °C.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut exp(0) ?
e^x × e^2x est égal à :
Quelle est la dérivée de f(x) = e^5x ?
Quelle est la solution de l’équation e^{3x − 6} = 1 ?
Une population de 500 bactéries évolue selon N(t) = 500 e^0,1t (t en heures). Combien y a-t-il de bactéries au bout de 10 h (arrondi à l’unité) ?
Un placement de 1 € à 100 % par an avec intérêts versés chaque mois rapporte (1 + 1/12)¹² €. Cette valeur est :

Définition

Le nombre e et la notation eˣ

Les propriétés algébriques

Signe et variations

Exemples résolus

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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