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Le logarithme népérien

Le logarithme népérien ln en Terminale : définition à partir de l’exponentielle, règles de calcul, dérivée, limites, équations et inéquations.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La fonction exponentielle , Limites de suites

Le logarithme ln défait l’exponentielle : il fait descendre l’exposant.

Tu places 1 000 € à 3 % par an. Quand ton argent aura-t-il doublé ? Il faut résoudre $1{,}03^n = 2$ : l’inconnue est dans l’exposant.

Ni la division ni la racine ne la font descendre. Le logarithme népérien, noté $\ln$ , si : $n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4$ ans.

Définition : la fonction réciproque de exp

La fonction exponentielle est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , et prend toutes les valeurs de $]0 ; +\infty[$ . Donc, pour chaque réel $a > 0$ , l’équation $e^x = a$ a une seule solution.

Définition

Pour tout réel $a > 0$ , le logarithme népérien de $a$ , noté $\ln a$ , est l’unique réel $x$ tel que $e^x = a$ .

x = \ln a \iff e^x = a \qquad (a > 0)

$\ln a$ répond donc à la question : « à quelle puissance faut-il élever $e$ pour obtenir $a$ ? ». Par exemple $\ln 1 = 0$ car $e^0 = 1$ , et $\ln e = 1$ car $e^1 = e$ .

ln et exp se défont l’une l’autre

Pour tout réel $x$ : $\ln(e^x) = x$ .
Pour tout réel $a > 0$ : $e^{\ln a} = a$ .

Graphiquement, si le point $(x ; y)$ est sur la courbe de exp, alors le point $(y ; x)$ est sur la courbe de ln : on échange les coordonnées. Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à la droite $y = x$ . Appuie sur ▶ pour plier la courbe de exp le long de cette droite, puis déplace le point A (ou le curseur $a$ ) : son symétrique B reste toujours sur la courbe de exp.

Essaie $a = e \approx 2{,}72$ : le point A est à la hauteur 1. Et pour $a$ entre 0 et 1, $\ln a$ est négatif.

Un peu d’histoire

En 1614, l’Écossais John Napier (Neper en français, d’où « népérien ») publie des tables d’un genre nouveau : les logarithmes. Leur super-pouvoir ? Transformer les multiplications, longues et pénibles, en additions. Les astronomes, qui passaient des nuits sur des calculs interminables, se les arrachent ; Laplace dira plus tard qu’en abrégeant les calculs, cette invention a « doublé la vie des astronomes ». L’Anglais Henry Briggs fut si impressionné qu’il fit le voyage jusqu’en Écosse pour rencontrer Napier : on raconte que les deux hommes restèrent un quart d’heure à se regarder, muets d’admiration, avant de parler. Les logarithmes de Napier n’étaient pas encore notre ln, qui prendra sa forme moderne avec Euler au XVIII^e siècle.

Les règles de calcul

Elles découlent de $e^{x+y} = e^x \times e^y$ : le logarithme transforme les produits en sommes.

Pour tous réels a > 0 et b > 0, et tout entier n

\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln\frac{1}{a} = -\ln a

\ln(a^n) = n \ln a \qquad \ln \sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a

C’est la propriété $\ln(a^n) = n \ln a$ qui fait « descendre » l’exposant.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ? Calcule l’exponentielle du membre de droite, avec $e^{x + y} = e^x \times e^y$ :

e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = a \times b.

Donc $\ln a + \ln b$ est un réel dont l’exponentielle vaut $ab$ . Or, par définition, le seul réel qui vérifie cela est $\ln(ab)$ . D’où $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

Les autres règles en découlent. Avec $b = \frac{1}{a}$ : $\ln a + \ln \frac{1}{a} = \ln 1 = 0$ , donc $\ln\frac{1}{a} = -\ln a$ . Et en appliquant la règle du produit $n$ fois : $\ln(a^n) = n \ln a$ .

La fonction ln

Étude de la fonction ln sur ]0 ; +∞[

ln est dérivable et $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ , qui est positif : ln est strictement croissante.
$\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ (asymptote verticale : l’axe des ordonnées) et $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ .
Croissance comparée : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ : ln tend vers $+\infty$ beaucoup plus lentement que $x$ .
Signe : $\ln x < 0$ si $0 < x < 1$ , $\ln 1 = 0$ , $\ln x > 0$ si $x > 1$ .

Comme ln est strictement croissante, elle conserve l’ordre : pour $a, b > 0$ , $\ln a < \ln b \iff a < b$ , et $\ln a = \ln b \iff a = b$ . Plus généralement, si $u$ est dérivable et strictement positive, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : le temps de doublement

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1\,000 \times 1{,}03^n \geqslant 2\,000$ , soit $1{,}03^n \geqslant 2$ .

On applique ln, qui conserve l’ordre : $n \ln 1{,}03 \geqslant \ln 2$ .
$\ln 1{,}03 > 0$ (car $1{,}03 > 1$ ), donc on divise sans changer le sens : $n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4$ .

Le capital aura doublé au bout de 24 ans.

Exemple 2 : dater un fossile au carbone 14

La proportion de carbone 14 restant dans un organisme mort depuis $t$ années est $e^{-0{,}000121\,t}$ . Un os n’en contient plus que 30 %. Quel est son âge ?

e^{-0{,}000121\,t} = 0{,}3 \iff -0{,}000121\,t = \ln 0{,}3 \iff t = \frac{\ln 0{,}3}{-0{,}000121} \approx 9\,950

L’os a environ 10 000 ans.

Exemple 3 : un seuil avec une raison inférieure à 1

Un médicament perd 20 % de sa concentration par heure. Au bout de combien d’heures reste-t-il moins de 1 % de la dose ? On résout $0{,}8^n < 0{,}01$ :

n \ln 0{,}8 < \ln 0{,}01 \iff n > \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6

Attention : $\ln 0{,}8 < 0$ , donc en divisant on change le sens de l’inégalité. Réponse : au bout de 21 heures.

Les pièges classiques

$\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ ! La règle concerne le produit.
$\ln x$ n’existe que pour $x > 0$ : $\ln 0$ et $\ln(-2)$ n’ont pas de sens. Commence toujours par chercher l’ensemble de définition.
Diviser par $\ln q$ quand $0 < q < 1$ : c’est un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Archéologie : la datation au carbone 14 repose sur $t = \frac{\ln(\text{proportion})}{-0{,}000121}$ . Un os qui a gardé la moitié de son carbone 14 a environ $\frac{\ln 2}{0{,}000121} \approx 5\,730$ ans.
Banque : le temps de doublement d’un placement à $t$ % vaut $\frac{\ln 2}{\ln(1 + t/100)}$ . À 3 %, environ 23,4 ans ; à 7 %, à peine plus de 10 ans.
Acoustique : les décibels utilisent le logarithme décimal $\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ . Multiplier l’intensité d’un son par 10 ajoute 10 dB : un concert à 110 dB est 100 fois plus intense qu’une tondeuse à 90 dB.
Chimie : le pH d’une solution vaut $-\log[\text{H}_3\text{O}^+]$ . Un jus de citron à pH 2 est 100 000 fois plus acide qu’une eau à pH 7.
Informatique : chercher un mot dans un dictionnaire trié d’un million de mots par dichotomie prend environ $\frac{\ln 10^6}{\ln 2} \approx 20$ étapes seulement.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut ln(1) ?
Combien vaut ln(e⁵) ?
ln(6) est égal à :
Quelle est la solution de e^x = 10 ? (arrondie au centième)
Une ville de 50 000 habitants gagne 2 % d’habitants par an. Au bout de combien d’années entières dépassera-t-elle 60 000 habitants ?
Un écran perd 10 % de luminosité par an. Au bout de combien d’années entières sa luminosité sera-t-elle passée sous la moitié de l’initiale ?