Tle 📈 Fonctions Étape 16 / 23 du parcours

Les limites de fonctions

Limites de fonctions en Terminale : limite en l’infini et en un réel, asymptotes horizontales et verticales, formes indéterminées et croissances comparées.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Limites de suites , La fonction exponentielle , La fonction inverse

Une limite, c’est la valeur dont une fonction s’approche, parfois sans jamais l’atteindre.

Une entreprise fabrique des gourdes : 5 000 € de frais fixes, puis 2 € de matière par gourde.

Pour $x$ gourdes, le coût moyen vaut $\dfrac{5\,000 + 2x}{x}$ : 52 € pour 100 gourdes, 2,50 € pour 10 000, 2,005 € pour un million. Il s’approche de 2 € sans l’atteindre : sa limite est 2.

Limite en l’infini

Définition

$f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ .
$f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si $f(x)$ finit par dépasser n’importe quel nombre $A$ , aussi grand soit-il, et y rester.

C’est la même idée que pour les suites, mais $x$ parcourt tous les réels et non plus seulement les entiers. On définit de même les limites en $-\infty$ .

Asymptote horizontale

Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (ou en $-\infty$ ), la droite d’équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ : la courbe s’en rapproche autant qu’on veut.

Un peu d’histoire

Newton et Leibniz ont inventé le calcul différentiel à la fin du XVII^e siècle en manipulant des quantités « infiniment petites »… sans vraiment savoir les définir. En 1734, l’évêque irlandais George Berkeley se moque d’eux : ces quantités, tantôt nulles, tantôt pas, ne seraient que des « fantômes de quantités disparues » ! Il faudra près d’un siècle pour lui répondre. En 1821, Augustin-Louis Cauchy, professeur à l’École polytechnique, place la notion de limite au cœur de son Cours d’analyse. Vers 1860, Karl Weierstrass en donne la définition rigoureuse, celle qu’utilisent encore les mathématiciens aujourd’hui.

Limite en un réel a

Que se passe-t-il quand $x$ s’approche d’une valeur interdite, par exemple $x = 1$ pour $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ ? Le dénominateur devient minuscule et $f(x)$ explose : pour $x = 1{,}001$ , $f(x) = 3\,002$ .

Asymptote verticale

Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ (éventuellement d’un seul côté), la droite d’équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe.

On note $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ la limite « à droite » ( $x > a$ ) et $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ la limite « à gauche ».

Choisis une fonction, puis dézoome avec le curseur (ou ▶) : la fenêtre s’étend vers $+\infty$ . Les deux premières courbes se collent à leur asymptote horizontale (la deuxième en oscillant), alors que $\sqrt{x}$ finit par sortir de l’écran par le haut. Le dernier exemple fait l’inverse : on zoome vers $x = 1$ et ce sont les graduations verticales qui explosent.

Limites de référence et opérations

Limites à connaître

En $+\infty$ : $x$ , $x^2$ , $x^n$ ( $n \geqslant 1$ ), $\sqrt{x}$ , $e^x$ et $\ln x$ tendent vers $+\infty$ ; $\dfrac{1}{x}$ , $\dfrac{1}{x^2}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et $e^{-x}$ tendent vers 0.
En $-\infty$ : $e^x$ tend vers 0.
En 0 : $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$ , $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ .

Les règles pour la somme, le produit et le quotient sont les mêmes que pour les suites, avec les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ . Pour une fonction polynôme ou rationnelle en l’infini, on factorise par le terme de plus haut degré.

Croissances comparées

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0

En l’infini, l’exponentielle l’emporte sur $x$ , qui l’emporte sur le logarithme (cela reste vrai avec $x^n$ à la place de $x$ ).

On dispose aussi, comme pour les suites, des théorèmes de comparaison et du théorème des gendarmes, ainsi que de la limite d’une composée : si $u(x)$ tend vers $b$ et $g(X)$ tend vers $\ell$ quand $X$ tend vers $b$ , alors $g(u(x))$ tend vers $\ell$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Démontrons que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ . Pour $x \geqslant 0$ , pose $g(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ .

$g'(x) = e^x - x$ , et $(g')'(x) = e^x - 1 \geqslant 0$ sur $[0\,;\,+\infty[$ : $g'$ est croissante, donc $g'(x) \geqslant g'(0) = 1 > 0$ .
Donc $g$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , et $g(x) \geqslant g(0) = 1 > 0$ .

Ainsi $e^x > \dfrac{x^2}{2}$ , et pour $x > 0$ : $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$ . Comme $\dfrac{x}{2}$ tend vers $+\infty$ , le théorème de comparaison donne le résultat.

Exemples résolus

Exemple 1 : le coût moyen des gourdes

$C(x) = \dfrac{5\,000 + 2x}{x} = \dfrac{5\,000}{x} + 2$ . Comme $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5\,000}{x} = 0$ , on obtient $\lim\limits_{x \to +\infty} C(x) = 2$ .

La droite $y = 2$ est asymptote horizontale : 2 € est le coût plancher, impossible à atteindre car les frais fixes ne disparaissent jamais complètement.

Exemple 2 : une forme indéterminée

Limite en $+\infty$ de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ : c’est la forme $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $x$ :

f(x) = \frac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{2}{1} = 2

En $1^+$ : le numérateur tend vers 3 et le dénominateur $x - 1$ tend vers 0 en restant positif. Donc $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ : la droite $x = 1$ est asymptote verticale.

Exemple 3 : le café qui refroidit

Un café servi à 90 °C dans une pièce à 20 °C a pour température, au bout de $t$ minutes, $T(t) = 20 + 70\,e^{-0{,}1t}$ .

Quand $t \to +\infty$ , $-0{,}1t \to -\infty$ donc $e^{-0{,}1t} \to 0$ (limite d’une composée). Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} T(t) = 20$ : le café finit à la température de la pièce, jamais en dessous.

Les pièges classiques

Une courbe peut croiser son asymptote horizontale, et même plusieurs fois : regarde $3 + \frac{\sin x}{x}$ dans le widget.
« Tend vers $+\infty$ » n’implique pas une asymptote : $\sqrt{x}$ et $\ln x$ tendent vers $+\infty$ , très lentement, sans asymptote horizontale.
En une valeur interdite, étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite : les deux limites peuvent être opposées.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Économie : le coût moyen $\frac{5\,000 + 2x}{x}$ tend vers 2 € : l’asymptote horizontale indique le prix plancher en dessous duquel l’entreprise ne pourra jamais vendre sans perte.
Physique : un parachutiste atteint une vitesse limite. Sa vitesse $v(t) = 55\,(1 - e^{-0{,}18t})$ (en m/s) tend vers 55 m/s, soit environ 200 km/h, quelle que soit la durée de la chute.
Environnement : le coût pour éliminer une proportion $p$ d’un polluant est parfois modélisé par $C(p) = \frac{80p}{1 - p}$ (en milliers d’euros). Éliminer 90 % coûte 720 000 €, 99 % coûte 7,9 millions : quand $p \to 1^-$ , le coût tend vers $+\infty$ . Le « zéro pollution » est hors de prix.
Médecine : après une perfusion, la concentration d’un produit dans le sang, du type $c(t) = 12\,(1 - e^{-0{,}5t})$ , tend vers 12 mg/L : c’est la concentration d’équilibre que vise le médecin.
Informatique : comparer $\ln n$ , $n$ et $e^n$ quand $n \to +\infty$ permet de prévoir si un algorithme restera rapide avec un milliard de données (la croissance logarithmique est quasi gratuite, l’exponentielle est inutilisable).

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la limite de f(x) = 3 + 1/x quand x tend vers +∞ ?
Quelle est la limite en +∞ de (4x² + 1)/(2x² − x) ?
La droite x = 2 est asymptote verticale à la courbe de :
Quelle est la limite de e^x/x quand x tend vers +∞ ?
Une usine a 12 000 € de frais fixes et chaque objet coûte 3 € à fabriquer. Vers quelle valeur (en €) tend le coût moyen par objet quand la production devient très grande ?
Un objet chaud a pour température T(t) = 18 + 60e^−0,05t (en °C). Vers quelle température tend-il ?