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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires en Terminale : existence et unicité d’une solution de f(x) = k, et encadrement par dichotomie animée.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les limites de fonctions , Sens de variation et dérivée

Une courbe tracée sans lever le crayon passe par toutes les valeurs intermédiaires.

Un randonneur part d’un refuge à 1 200 m et arrive à un col à 2 100 m. Sans connaître le chemin, tu sais qu’il est passé exactement à 1 500 m : il n’a pas pu « sauter » cette altitude.

Cette évidence est un vrai théorème. Il prouve qu’une équation a une solution… même quand on ne sait pas la calculer.

Fonction continue

Définition

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est continue en $a$ (un point de $I$ ) si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Elle est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$ . Graphiquement : on peut tracer sa courbe sur $I$ sans lever le crayon.

À retenir

Les fonctions usuelles (polynômes, fonctions rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus) sont continues sur chaque intervalle où elles sont définies.
Sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continus (là où ils sont définis).
Une fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ . La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en 0 mais pas dérivable en 0.

Les fonctions « en escalier » ne sont pas continues : le tarif d’un colis (6,50 € jusqu’à 1 kg, 8 € de 1 à 2 kg…) saute brutalement à chaque palier. Entre 6,50 € et 8 €, aucun prix intermédiaire n’est atteint.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a ; b]$ .

Un peu d’histoire

Pendant des siècles, ce théorème a semblé si évident qu’on ne pensait même pas à le démontrer : une courbe tracée sans lever le crayon doit bien croiser la droite $y = k$ ! C’est le mathématicien et prêtre de Prague Bernard Bolzano qui, en 1817, en publie une démonstration purement « par le calcul », sans s’appuyer sur le dessin. En 1821, Augustin-Louis Cauchy en donne une autre dans son Cours d’analyse de l’École polytechnique, en découpant l’intervalle de plus en plus finement, dans un esprit proche de la dichotomie. Ce travail a obligé les mathématiciens à définir précisément ce qu’est un nombre réel… ce qui ne sera fait que vers 1872, par Dedekind et Cantor.

Il peut y avoir plusieurs solutions si la courbe monte et descend. Pour en garantir une seule, on ajoute la monotonie.

Corollaire : existence et unicité

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a ; b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a ; b]$ .

Dans un tableau de variations, une flèche signifie par convention que la fonction est continue et strictement monotone sur l’intervalle correspondant.

Encadrer la solution : la dichotomie

Le TVI dit qu’une solution $\alpha$ existe, mais pas combien elle vaut. Pour l’approcher, on coupe l’intervalle en deux : on calcule $f$ au milieu $m$ , et on garde la moitié où $f - k$ change encore de signe. À chaque étape, l’encadrement est deux fois plus précis.

Choisis une équation puis clique sur « Couper en deux » (ou ▶). Les points rouges sont sous la droite $y = k$ , les verts au-dessus : la solution est toujours coincée entre un rouge et un vert.

Après 10 étapes, l’intervalle est $2^{10} = 1\,024$ fois plus petit : on a la solution à 0,001 près. En Python, l’algorithme tient en quelques lignes :

def dichotomie(f, a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Voici l’idée de la preuve, dans le cas $f(a) \leqslant k \leqslant f(b)$ . La dichotomie fabrique deux suites : $(a_n)$ croissante et $(b_n)$ décroissante, avec $f(a_n) \leqslant k \leqslant f(b_n)$ à chaque étape et $b_n - a_n = \dfrac{b - a}{2^n}$ , qui tend vers 0. Ces deux suites sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $\alpha$ de $[a ; b]$ .

Comme $f$ est continue, $f(a_n)$ et $f(b_n)$ tendent toutes les deux vers $f(\alpha)$ . En passant à la limite dans les inégalités, on obtient $f(\alpha) \leqslant k \leqslant f(\alpha)$ , donc $f(\alpha) = k$ . Le point délicat — l’existence de la limite $\alpha$ — repose sur une propriété profonde de $\mathbb{R}$ : la droite réelle n’a « pas de trous ».

Exemples résolus

Exemple 1 : x³ + x − 1 = 0

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0 ; 1]$ .

$f$ est un polynôme, donc continue. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : $f$ est strictement croissante.
$f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : 0 est compris entre $f(0)$ et $f(1)$ .
D’après le corollaire du TVI, l’équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans $[0 ; 1]$ .
La calculatrice (ou la dichotomie) donne $f(0{,}68) \approx -0{,}006 < 0$ et $f(0{,}69) \approx 0{,}018 > 0$ , donc $0{,}68 < \alpha < 0{,}69$ .

Exemple 2 : le seuil de rentabilité

Le bénéfice (en milliers d’euros) d’une start-up qui vend $x$ milliers d’abonnements est $B(x) = 3\ln x - 0{,}5x + 1$ pour $x \in [1 ; 6]$ . Elle commence à gagner de l’argent quand $B(x)$ dépasse 2.

$B'(x) = \dfrac{3}{x} - 0{,}5 = \dfrac{6 - x}{2x} \geqslant 0$ sur $[1 ; 6]$ : $B$ est continue et strictement croissante.
$B(1) = 0{,}5$ et $B(6) = 3\ln 6 - 2 \approx 3{,}38$ : la valeur 2 est entre les deux.
Il existe donc un unique seuil $\alpha \in [1 ; 6]$ tel que $B(\alpha) = 2$ . On trouve $\alpha \approx 2{,}0$ : environ 2 000 abonnés.

Bonus : limite d’une suite et point fixe

Si une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ . C’est ce qui permet de calculer la limite d’une suite dont on sait qu’elle converge.

Les pièges classiques

Sans continuité, le TVI ne marche pas : $f(x) = \frac{1}{x}$ vérifie $f(-1) = -1$ et $f(1) = 1$ , mais ne s’annule jamais.
Le TVI donne au moins une solution. Pour dire « une unique », il faut la stricte monotonie.
Vérifie bien que $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$ avant d’appliquer le théorème.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Calculatrices et logiciels : la touche « solveur » de ta calculatrice utilise des méthodes du type dichotomie. 30 étapes suffisent pour une précision d’un milliardième sur un intervalle de longueur 1.
Thermique : un four passe de 20 °C à 220 °C en préchauffant ; la température varie continûment, donc il atteint exactement 180 °C à un instant précis, que le thermostat détecte pour couper la chauffe.
Économie : le seuil de rentabilité d’une entreprise est la solution de « recettes = coûts ». Le TVI garantit son existence avant même de la calculer.
Ingénierie navale : une bouée sphérique de 1 m de rayon, en matériau de densité 0,6, s’enfonce d’une hauteur $h$ solution de $h^3 - 3h^2 + 2{,}4 = 0$ . Pas de formule simple : on l’encadre par dichotomie, $h \approx 1{,}13$ m.
Météo : si la température passe de 4 °C à minuit à −3 °C à 6 h, elle a été exactement de 0 °C au moins une fois : risque de verglas, d’où les alertes routières.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

f est continue sur [0 ; 4], f(0) = −2 et f(4) = 5. L’équation f(x) = 1 a-t-elle une solution dans [0 ; 4] ?
Pour affirmer qu’une solution est unique, il faut en plus que f soit :
Par dichotomie sur [0 ; 1], quelle est la longueur de l’intervalle après 3 étapes ? (en écriture décimale)
Un sous-marin descend de la surface (0 m) à −300 m de façon continue. Combien de fois au minimum est-il passé à −120 m ?
La température d’une boisson sortie du réfrigérateur passe de 4 °C à 21 °C en 2 heures. Peut-on affirmer qu’elle a été exactement à 12 °C ?
Combien d’étapes de dichotomie faut-il au minimum sur [0 ; 1] pour obtenir un intervalle de longueur inférieure à 0,01 ?