Tle 📈 Fonctions Étape 18 / 23 du parcours

La convexité

Convexité en Terminale : fonction convexe ou concave, cordes et tangentes, dérivée seconde et point d’inflexion, avec une figure à manipuler.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Sens de variation et dérivée , Dérivées usuelles et règles de calcul

Une fonction est convexe quand sa courbe est tournée vers le haut, comme un bol.

Début d’épidémie : 100 nouveaux cas lundi, 150 mardi, 220 mercredi. Le total grimpe de plus en plus vite : sa courbe est convexe.

Puis la hausse ralentit et la courbe devient concave. Le point où elle change de courbure, c’est le point d’inflexion : « le pic est passé ».

Fonction convexe, fonction concave

Prends deux points $A$ et $B$ sur une courbe et relie-les par un segment : c’est une corde.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de sa courbe d’abscisses dans $I$ , la courbe est au-dessous de la corde $[AB]$ entre $A$ et $B$ .
$f$ est concave sur $I$ si la courbe est au-dessus de chacune de ses cordes.

Une courbe convexe est « tournée vers le haut », comme un bol : $x \mapsto x^2$ et $\exp$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ . Une courbe concave est « tournée vers le bas », comme un dôme : $\ln$ et $\sqrt{\phantom{x}}$ sont concaves sur $]0 ; +\infty[$ .

Un peu d’histoire

Les fonctions convexes doivent une partie de leur célébrité… à un ingénieur du téléphone ! Le Danois Johan Jensen travaillait pour la compagnie de téléphone de Copenhague et faisait des mathématiques pendant son temps libre. En 1906, il publie l’inégalité qui porte son nom : pour une fonction convexe, l’image de la moyenne est inférieure ou égale à la moyenne des images, par exemple $f\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{f(a) + f(b)}{2}$ . C’est exactement dire que le milieu de la corde est au-dessus de la courbe. Cette inégalité est aujourd’hui partout, de la théorie de l’information à la finance.

Déplace les points A et B (directement sur la courbe ou avec les curseurs) : la corde devient verte si elle reste au-dessus de la courbe, orange si elle passe dessous, rouge si elle la traverse. Le point C porte une tangente. La bande du bas donne le signe de $f''$ .

Avec $x^3 - 3x$ , essaie de mettre A et B tous les deux à droite de 0, puis tous les deux à gauche, puis de part et d’autre : la courbe change de convexité au point I. Remarque aussi qu’une corde peut être au-dessus de la courbe sans que la fonction soit convexe entre ses extrémités (place A en −1 et B en 2) : la définition exige que toutes les cordes soient au-dessus.

Convexité et dérivées

Dérivée seconde

Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée se note $f''$ : c’est la dérivée seconde de $f$ . Par exemple, si $f(x) = x^3 - 3x$ , alors $f'(x) = 3x^2 - 3$ et $f''(x) = 6x$ .

Caractérisations de la convexité (f deux fois dérivable sur I)

Les affirmations suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ (les pentes augmentent) ;
$f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ ;
la courbe de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$ .

Pour une fonction concave : $f'$ décroissante, $f'' \leqslant 0$ , courbe au-dessous de ses tangentes.

L’idée est simple : quand on roule sur une courbe convexe, le volant tourne toujours à gauche, la pente ne fait qu’augmenter.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Montrons que si $f'' \geqslant 0$ sur $I$ , la courbe est au-dessus de sa tangente en tout point $a$ de $I$ . On pose

g(x) = f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big]

C’est l’écart entre la courbe et la tangente. Alors $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Comme $f'' \geqslant 0$ , $f'$ est croissante : $g'(x) \leqslant 0$ pour $x \leqslant a$ et $g'(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant a$ . Donc $g$ est décroissante puis croissante : elle atteint son minimum en $a$ , où $g(a) = 0$ . Ainsi $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ : la courbe est au-dessus de la tangente.

Point d’inflexion

Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente. Il correspond à un changement de convexité.

Si $f''$ s’annule en changeant de signe en $a$ , alors le point d’abscisse $a$ est un point d’inflexion.

Exemples résolus

Exemple 1 : étudier la convexité de f(x) = x³ − 3x

$f''(x) = 6x$ .
$f''(x) \leqslant 0$ sur $]-\infty ; 0]$ : $f$ est concave ; $f''(x) \geqslant 0$ sur $[0 ; +\infty[$ : $f$ est convexe.
$f''$ s’annule en 0 en changeant de signe : le point $I(0 ; 0)$ est un point d’inflexion. La tangente en $I$ a pour pente $f'(0) = -3$ : c’est la droite $y = -3x$ , que la courbe traverse.

Exemple 2 : une inégalité grâce à la convexité

La fonction exponentielle est convexe (car $\exp'' = \exp > 0$ ). Sa courbe est donc au-dessus de sa tangente en 0, qui a pour équation $y = x + 1$ . On en déduit, pour tout réel $x$ :

e^x \geqslant 1 + x

De même, ln est concave ( $\ln''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ ), donc sous sa tangente en 1 : $\ln x \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$ .

Exemple 3 : le pic d’une épidémie

Le nombre total de cas (en milliers) est modélisé par $N(t) = \dfrac{100}{1 + 99\,e^{-0{,}2t}}$ , où $t$ est en jours. Une étude de $N''$ montre qu’elle s’annule en changeant de signe pour $t = 5\ln 99 \approx 23$ .

Avant le 23e jour, $N$ est convexe : les nouveaux cas quotidiens ( $N'$ ) augmentent.
Après, $N$ est concave : les nouveaux cas diminuent.

Le point d’inflexion marque le pic des nouveaux cas : environ 50 000 malades au total ce jour-là, soit la moitié du total final.

Les pièges classiques

Convexe ne veut pas dire croissante : $x^2$ est convexe mais décroissante sur $]-\infty ; 0]$ .
$f''(a) = 0$ ne suffit pas pour un point d’inflexion : pour $x^4$ , $f''(0) = 0$ mais $f'' \geqslant 0$ partout, pas de changement de signe, pas d’inflexion.
Corde au-dessus de la courbe = fonction convexe (et non l’inverse) : pense au bol.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Épidémiologie : le point d’inflexion de la courbe des cas cumulés marque le pic des nouveaux cas quotidiens. Repérer le jour où $N''$ change de signe permet d’annoncer que l’épidémie ralentit, parfois une semaine avant que cela se voie à l’œil nu.
Économie : la loi des rendements décroissants dit que la production est concave : passer de 10 à 11 ouvriers rapporte moins que passer de 2 à 3. Une usine qui produit $100\sqrt{n}$ objets avec $n$ ouvriers gagne 41 objets avec le 2e ouvrier, mais à peine 15 avec le 11e.
Intelligence artificielle : entraîner un modèle revient à minimiser une fonction d’erreur. Quand elle est convexe, tout minimum local est le minimum global : l’algorithme de descente de gradient est sûr de trouver la meilleure solution.
Routes et rails : dans un virage, les ingénieurs raccordent les courbures progressivement pour éviter un changement brutal ; un point d’inflexion mal placé dans une route en S provoque un coup de volant.
Finance : la convexité d’une obligation mesure comment son prix réagit aux taux d’intérêt ; les gestionnaires de fonds la calculent avec la dérivée seconde du prix.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Si f″(x) > 0 sur un intervalle, alors f y est :
f(x) = x³ − 6x². En quelle abscisse se trouve son point d’inflexion ?
La fonction ln est :
Grâce à la convexité de exp, e^x ≥ 1 + x. Quelle est la plus petite valeur possible de e^x − x ?
Une usine produit 100√n objets avec n ouvriers. Combien d’objets en plus rapporte le passage de 4 à 9 ouvriers ?
Le nombre total de cas d’une épidémie suit une courbe convexe puis concave. Que représente le point d’inflexion ?

Fonction convexe, fonction concave

Convexité et dérivées

Exemples résolus

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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