Tle 📈 Fonctions Étape 19 / 23 du parcours

Dérivée d’une fonction composée

Dérivée d’une fonction composée en Terminale : la formule (v∘u)′ = u′ × v′∘u, ses cas usuels (uⁿ, √u, eᵘ, ln u) et des exemples concrets.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Dérivées usuelles et règles de calcul , La fonction exponentielle , Le logarithme népérien

Quand on enchaîne deux fonctions, leurs dérivées se multiplient, comme des engrenages.

Sur un vélo, le plateau entraîne la chaîne, qui fait tourner la roue. Plateau 3 fois plus denté que le pignon ? La roue tourne 3 fois plus vite que les pédales.

Les rapports se multiplient le long de la chaîne. Pour une fonction composée, c’est pareil avec les dérivées : $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ .

Rappel : composer deux fonctions

Définition

La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction $v \circ u$ définie par $(v \circ u)(x) = v\bigl(u(x)\bigr)$ : on applique d’abord $u$ , puis $v$ au résultat.

Par exemple, $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ est la composée de $u(x) = x^2 + 1$ suivie de $v(X) = \sqrt{X}$ . Pour reconnaître une composée, demande-toi : « quel est le dernier calcul que je fais ? » Ici, la racine carrée : c’est $v$ . Tout ce qu’il y a dessous, c’est $u$ .

La chaîne des vitesses

Choisis une fonction et fais varier $x$ , ou lance l’animation. La roue bleue tourne avec $x$ , la verte avec $u(x)$ , l’orange avec $f(x) = v\bigl(u(x)\bigr)$ . Sous chaque roue, une barre indique sa vitesse quand $x$ avance à vitesse 1 : la roue verte va $u'(x)$ fois plus vite que la bleue, et l’orange $v'(u)$ fois plus vite que la verte. Au total, l’orange tourne à la vitesse $v'(u) \times u'(x)$ .

La formule

Dérivée d’une fonction composée

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $v$ dérivable sur un intervalle contenant $u(I)$ , alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et

(v \circ u)'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr) \times u'(x).

On dérive la fonction « extérieure » en gardant l’intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur.

Les cas à connaître par cœur

Pour $u$ dérivable (et strictement positive pour $\sqrt{u}$ et $\ln u$ ) :

Fonction	Dérivée
$u^n$ ( $n$ entier non nul)	$n\,u' \, u^{n-1}$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$e^{u}$	$u' \, e^{u}$
$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$
$\cos u$ ; $\sin u$	$-u' \sin u$ ; $u' \cos u$

Exemples pas à pas

Une puissance : f(x) = (3x + 1)⁵

Dernier calcul : la puissance 5. Donc $u(x) = 3x + 1$ , $u'(x) = 3$ , et on applique $(u^5)' = 5u'u^4$ :

f'(x) = 5 \times 3 \times (3x + 1)^4 = 15(3x + 1)^4.

Sans la formule, il aurait fallu développer $(3x + 1)^5$ : six termes et beaucoup de sueur !

La courbe en cloche : g(x) = e^(−x²)

$u(x) = -x^2$ et $u'(x) = -2x$ , donc $g'(x) = -2x\,e^{-x^2}$ .

Comme $e^{-x^2} > 0$ , $g'(x)$ a le signe de $-2x$ : $g$ est croissante sur $]-\infty ; 0]$ et décroissante sur $[0 ; +\infty[$ , avec un maximum en $0$ . C’est la célèbre courbe en cloche des statistiques.

Le ballon qui gonfle

On gonfle un ballon sphérique : son rayon vaut $r(t) = 2 + 0{,}5t$ (en cm, $t$ en secondes). Son volume est $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ . À quelle vitesse le volume augmente-t-il quand $t = 2$ s ?

$V(t) = \frac{4}{3}\pi \bigl(r(t)\bigr)^3$ , donc $V'(t) = \frac{4}{3}\pi \times 3\,r(t)^2 \times r'(t) = 4\pi\,r(t)^2 \times 0{,}5$ .

À $t = 2$ : $r = 3$ cm et $V'(2) = 4\pi \times 9 \times 0{,}5 = 18\pi \approx 56{,}5$ cm³ par seconde. Le rayon grossit à vitesse constante, mais le volume, lui, accélère.

Les pièges

Attention

Oublier le facteur $u'$ : la dérivée de $e^{3x}$ est $3e^{3x}$ , pas $e^{3x}$ . C’est l’erreur la plus fréquente !
Dériver l’intérieur dans $v'$ : dans $v'\bigl(u(x)\bigr)$ , on remplace la variable par $u(x)$ sans la dériver. Pour $\sqrt{x^2 + 1}$ , c’est $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \times 2x$ , pas $\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}$ .
Se tromper d’ordre : $\ln(x^2)$ (composée $u = x^2$ puis $\ln$ ) n’est pas $(\ln x)^2$ (composée $\ln$ puis carré). Leurs dérivées sont $\frac{2}{x}$ et $\frac{2\ln x}{x}$ .

D’où vient la formule ?— facultatif, à sauter en première lecture

Fixons $x$ et écrivons le taux d’accroissement de $f = v \circ u$ entre $x$ et $x + h$ . Si $u(x + h) \neq u(x)$ , on peut « multiplier et diviser » par $u(x + h) - u(x)$ :

\frac{v\bigl(u(x + h)\bigr) - v\bigl(u(x)\bigr)}{h} = \frac{v\bigl(u(x + h)\bigr) - v\bigl(u(x)\bigr)}{u(x + h) - u(x)} \times \frac{u(x + h) - u(x)}{h}.

Quand $h \to 0$ , le second facteur tend vers $u'(x)$ . Comme $u$ est continue, $u(x + h)$ tend vers $u(x)$ , et le premier facteur est un taux d’accroissement de $v$ en $u(x)$ : il tend vers $v'\bigl(u(x)\bigr)$ . D’où $f'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr) \times u'(x)$ . (Une démonstration complète traite aussi le cas où $u(x + h) = u(x)$ pour certains $h$ .)

Leibniz et ses fractions qui n’en sont pas

En 1676, l’Allemand Gottfried Wilhelm Leibniz cherche à calculer la dérivée de $\sqrt{a + bz + cz^2}$ . Il invente l’astuce de poser une variable intermédiaire, et sa notation rend la règle presque magique :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}.

On dirait qu’on simplifie une fraction par $du$ ! Ce n’en est pas vraiment une, mais cette écriture est si pratique que les physiciens l’utilisent encore tous les jours. En anglais, la formule s’appelle d’ailleurs la chain rule, « la règle de la chaîne ».

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En randonnée et en météo : la température baisse d’environ 6,5 °C par km d’altitude. Un randonneur qui monte à 0,4 km/h voit la température baisser de $6{,}5 \times 0{,}4 = 2{,}6$ °C par heure : on multiplie les deux taux.
En intelligence artificielle : un réseau de neurones est une longue composée de fonctions. Pour l’entraîner, l’algorithme de rétropropagation applique la règle de la chaîne des millions de fois par seconde.
En médecine : la concentration d’un médicament dans le sang suit souvent $C(t) = C_0\,e^{-kt}$ . Sa vitesse d’élimination est $C'(t) = -k\,C_0\,e^{-kt}$ ; avec $C_0 = 20$ mg/L et $k = 0{,}2$ par heure, elle vaut $-4$ mg/L par heure au départ.
En physique : un ressort oscille selon $x(t) = 5\cos(2t)$ (en cm). Sa vitesse est $x'(t) = -10\sin(2t)$ : jusqu’à 10 cm/s, deux fois plus que si l’on oubliait le facteur 2.
En économie : le coût dépend de la quantité produite, qui dépend elle-même du temps. Si chaque pièce supplémentaire coûte 12 € (coût marginal) et que l’atelier produit 25 pièces par heure, le coût augmente de $12 \times 25 = 300$ € par heure.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

La dérivée de f(x) = e^5x est :
f(x) = (2x − 1)³. Calcule f′(1).
La dérivée de √(x² + 9) en x = 4 vaut :
La dérivée de ln(x² + 1) est :
Un ballon a un rayon r(t) = 1 + t (cm). Son aire est A = 4πr². Quelle est A′(1), arrondie à l’unité (cm²/s) ?
Une voiture consomme du carburant selon la distance, et la distance augmente de 90 km par heure. Si la consommation augmente de 0,06 L par km, de combien augmente-t-elle par heure (en L) ?