Tle 📈 Fonctions Étape 20 / 23 du parcours

L’intégrale et l’aire sous la courbe

Intégrale en Terminale : aire sous une courbe approchée par des rectangles, définition de l’intégrale, calcul avec une primitive et propriétés.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Nombre dérivé et tangente

L’intégrale d’une fonction positive, c’est l’aire sous sa courbe.

À 90 km/h pendant 2 heures, une voiture parcourt ${90 \times 2 = 180}$ km : l’aire d’un rectangle sous le graphique de sa vitesse.

Si la vitesse change sans arrêt, la distance reste l’aire sous la courbe. Calculer une aire au bord courbe, c’est tout l’objet du calcul intégral.

L’aire sous une courbe

On se place dans un repère orthogonal. L’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle construit sur les deux vecteurs unités du repère.

Définition

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a ; b]$ , et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = a$ et $x = b$ . On la note

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Le symbole $\int$ est un « S » allongé, comme somme. Le $\mathrm{d}x$ rappelle que l’on additionne des bandes de largeur infiniment petite. La lettre $x$ est muette : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ désignent le même nombre.

L’approcher avec des rectangles

L’aire d’un rectangle, on sait la calculer. L’idée est donc de découper $[a ; b]$ en $n$ bandes de même largeur $\dfrac{b - a}{n}$ , et de remplacer chaque bande par un rectangle dont la hauteur est la valeur de $f$ sur un bord. En additionnant les aires des $n$ rectangles, on obtient une valeur approchée de l’intégrale.

Augmente $n$ avec le curseur, ou appuie sur ▶ : plus les rectangles sont fins, plus ils épousent la courbe, et plus leur somme se rapproche de l’intégrale exacte. Change aussi de bord (gauche ou droit) : pour une fonction croissante, l’un donne une valeur trop petite, l’autre une valeur trop grande.

Exemple : quatre rectangles sous la courbe de x²

On approche $\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x$ avec $n = 4$ rectangles de largeur $\dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5$ .

Hauteurs au bord gauche : $f(0) = 0$ , $f(0{,}5) = 0{,}25$ , $f(1) = 1$ , $f(1{,}5) = 2{,}25$ .
Somme des aires : $0{,}5 \times (0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75$ .
Au bord droit, on utilise $f(0{,}5)$ , $f(1)$ , $f(1{,}5)$ et $f(2) = 4$ : $0{,}5 \times 7{,}5 = 3{,}75$ .
Comme $f$ est croissante sur $[0 ; 2]$ , on a l’encadrement $1{,}75 \leqslant \int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x \leqslant 3{,}75$ .

C’est la méthode des rectangles. Un petit algorithme en Python la programme facilement, et on peut obtenir autant de décimales que l’on veut en prenant $n$ grand.

Un peu d’histoire

L’idée de calculer une aire courbe en la découpant en morceaux très fins remonte à Archimède, vers 250 av. J.-C. : par sa « méthode d’exhaustion », il prouve que l’aire d’un segment de parabole vaut exactement les $\frac{4}{3}$ de celle d’un triangle bien choisi. Il faut attendre le XVIIe siècle pour qu’on relie les aires aux dérivées. On date du 29 octobre 1675 la page des carnets de Leibniz où apparaît pour la première fois le symbole $\int$ , un S allongé pour summa, « somme » en latin. La définition rigoureuse avec des rectangles est donnée par Bernhard Riemann en 1854 : c’est pourquoi on parle de « sommes de Riemann ».

Calculer une intégrale avec une primitive

Les rectangles donnent des approximations. Pour obtenir la valeur exacte, on utilise un résultat remarquable qui relie l’aire et la dérivation.

Théorème fondamental

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a ; b]$ (c’est-à-dire $F' = f$ ), alors

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)

On note aussi $F(b) - F(a) = \Big[ F(x) \Big]_a^b$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Voici l’idée dans le cas où $f$ est positive, continue et croissante. Notons $A(x)$ l’aire sous la courbe entre $a$ et $x$ . Pour $h > 0$ , la fine bande entre $x$ et $x + h$ a une aire $A(x+h) - A(x)$ coincée entre deux rectangles de largeur $h$ :

h\,f(x) \leqslant A(x+h) - A(x) \leqslant h\,f(x+h)

En divisant par $h$ : $f(x) \leqslant \dfrac{A(x+h) - A(x)}{h} \leqslant f(x+h)$ . Quand $h$ tend vers 0, $f(x+h)$ tend vers $f(x)$ (continuité), donc le taux d’accroissement tend vers $f(x)$ : $A'(x) = f(x)$ . L’aire $A$ est une primitive de $f$ ! Deux primitives diffèrent d’une constante et $A(a) = 0$ , donc $A(x) = F(x) - F(a)$ ; avec $x = b$ , on obtient le théorème.

Exemple : la valeur exacte

Calculons $\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x$ .

Une primitive de $x \mapsto x^2$ est $F : x \mapsto \dfrac{x^3}{3}$ , car $F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} = x^2$ .
$\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \Big[ \frac{x^3}{3} \Big]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$ u.a.

C’est bien entre $1{,}75$ et $3{,}75$ , et c’est la valeur vers laquelle tend la somme du widget quand $n$ grandit.

Deux autres calculs

$\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[ \mathrm{e}^x \Big]_0^1 = \mathrm{e}^1 - \mathrm{e}^0 = \mathrm{e} - 1 \approx 1{,}718$ .

$\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \Big[ \ln x \Big]_1^3 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3 \approx 1{,}099$ .

Exemple : la distance parcourue par une voiture qui accélère

Au feu vert, une voiture démarre. Pendant les 10 premières secondes, sa vitesse est $v(t) = 3t$ (en m/s). Quelle distance parcourt-elle ?

La distance est l’aire sous la courbe de la vitesse : $d = \displaystyle\int_0^{10} 3t\,\mathrm{d}t$ .
Une primitive de $t \mapsto 3t$ est $t \mapsto 1{,}5t^2$ .
$d = \Big[ 1{,}5t^2 \Big]_0^{10} = 150 - 0 = 150$ m.

Au bout de 10 s, elle roule à $v(10) = 30$ m/s, soit 108 km/h, et a parcouru 150 m. Vérification : l’aire sous la courbe est un triangle de base 10 et de hauteur 30, d’aire $\dfrac{10 \times 30}{2} = 150$ . ✔

Les propriétés de l’intégrale

On étend la définition aux fonctions continues de signe quelconque en posant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ dans tous les cas.

Pour f et g continues sur un intervalle I contenant a, b et c

Linéarité : $\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ et $\int_a^b k f(x)\,\mathrm{d}x = k \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Relation de Chasles : $\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Positivité : si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur $[a ; b]$ , alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$ .
Valeur moyenne : la valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$ est $\dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Toujours vérifier l’ordre de grandeur

Avant de calculer, encadre l’aire à l’œil sur un dessin, par exemple avec un rectangle et un triangle. Si ton résultat exact sort de cet encadrement, cherche l’erreur dans la primitive.

Les pièges classiques

C’est $F(b) - F(a)$ , dans cet ordre : la borne du haut moins la borne du bas.
Si $f$ est négative sur $[a ; b]$ , l’intégrale est négative : elle vaut l’opposé de l’aire. Une aire, elle, est toujours positive.
Une intégrale est un nombre, alors qu’une primitive est une fonction.
Si le repère n’est pas orthonormé, n’oublie pas de convertir les unités d’aire en cm² à la fin.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En physique : la distance parcourue est l’intégrale de la vitesse. Les compteurs kilométriques et les applis de course à pied additionnent en continu « vitesse × petit intervalle de temps », exactement comme la méthode des rectangles.
Pour l’énergie : ta facture d’électricité compte des kilowattheures, l’intégrale de la puissance consommée. Un radiateur de 2 kW allumé 3 h consomme $\int_0^3 2\,\mathrm{d}t = 6$ kWh, soit environ 1,50 € à 0,25 € le kWh.
En médecine : en pharmacologie, l’« aire sous la courbe » (AUC) de la concentration d’un médicament dans le sang mesure la quantité réellement absorbée par le corps. On compare ainsi un comprimé à une injection.
En économie : si une entreprise gagne $f(t) = 1\,000 + 50t$ euros par mois, son revenu total sur la première année vaut $\int_0^{12} (1\,000 + 50t)\,\mathrm{d}t = 12\,000 + 3\,600 = 15\,600$ €.
En architecture et en ingénierie : pour connaître la surface d’une voile, d’une aile d’avion ou d’une façade courbe, on intègre sa largeur le long de sa hauteur.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Un robinet débite 2 litres par minute. Le volume d’eau écoulé en 3 minutes est l’intégrale de 0 à 3 de la fonction constante égale à 2. Combien vaut-elle (en litres) ?
Combien vaut l’intégrale de 0 à 1 de x dx ? (en écriture décimale)
Un vélo accélère avec une vitesse v(t) = 2t (en m/s). Quelle distance parcourt-il entre t = 1 s et t = 2 s, c’est-à-dire l’intégrale de 1 à 2 de 2t dt (en m) ?
On approche l’intégrale de 0 à 2 de x² avec 2 rectangles « au bord gauche ». Quelle est la somme de leurs aires ?
D’après la relation de Chasles, l’intégrale de 0 à 1 plus l’intégrale de 1 à 4 d’une même fonction est égale à l’intégrale…
f est continue et négative sur [a ; b], avec a < b. Alors l’intégrale de a à b de f est :