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Les primitives

Les primitives en Terminale : définition, famille F + C, primitives usuelles, formes composées et condition initiale, avec une figure interactive.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Dérivées usuelles et règles de calcul , L’intégrale et l’aire sous la courbe

Chercher une primitive, c’est faire la dérivation à l’envers.

Le compteur d’une voiture donne sa vitesse. Peut-on retrouver la distance parcourue ? Oui : on remonte de la dérivée vers la fonction.

Si $v(t) = 10t$ , alors $d(t) = 5t^2$ convient, car $(5t^2)' = 10t$ : $d$ est une primitive de $v$ .

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :

F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I

Par exemple, $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$ , car $(x^2)' = 2x$ . Mais $x^2 + 5$ et $x^2 - 3$ aussi : la dérivée d’une constante est nulle !

Toutes les primitives d’une fonction

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions

x \mapsto F(x) + C, \quad C \text{ constante réelle.}

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi n’y a-t-il pas d’autres primitives que les $F + C$ ? Soit $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$ . Alors $(G - F)' = G' - F' = f - f = 0$ sur $I$ . Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante : il existe un réel $C$ tel que $G(x) - F(x) = C$ , soit $G(x) = F(x) + C$ .

Le mot « intervalle » est essentiel : sur $]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ , la fonction qui vaut $1$ pour $x > 0$ et $-1$ pour $x < 0$ a une dérivée nulle… sans être constante !

Graphiquement, les courbes des primitives se déduisent les unes des autres par des translations verticales. En un même $x_0$ , elles ont toutes la même pente : $f(x_0)$ .

Choisis une fonction $f$ , puis déplace $x_0$ : la hauteur du segment violet en bas, $f(x_0)$ , est la pente des tangentes en haut. Change $C$ (curseur, ou clic dans le cadre du haut) : la courbe orange monte ou descend, mais les tangentes restent parallèles.

Primitive vérifiant une condition initiale

Pour $x_0 \in I$ et $y_0$ réel donnés, il existe une unique primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0) = y_0$ .

Un peu d’histoire

Le symbole $\int$ a été inventé par l’Allemand Gottfried Wilhelm Leibniz dans un manuscrit de 1675 : c’est un S allongé, pour summa, la somme. À la même époque, en Angleterre, Isaac Newton avait découvert de son côté le lien entre dérivées et primitives, qu’il appelait « fluxions » et « fluentes ». S’ensuit l’une des plus célèbres disputes de l’histoire des sciences : qui a inventé le calcul le premier ? En 1712, la Royal Society de Londres, présidée par… Newton, tranche en faveur de Newton, dans un rapport qu’il avait en grande partie rédigé lui-même ! Aujourd’hui, on considère qu’ils l’ont découvert indépendamment, et ce sont surtout les notations de Leibniz qu’on utilise.

Les primitives usuelles

On lit le tableau des dérivées à l’envers ( $C$ désigne une constante réelle).

Fonction $f$	Une primitive $F$	Intervalle
$k$ (constante)	$kx$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n$ entier, $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$ , ou $]0 ; +\infty[$ et $]-\infty ; 0[$ si $n \leqslant -2$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln x$	$]0 ; +\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0 ; +\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$

Formes composées (u dérivable sur I)

Fonction	Une primitive	Condition
$u'\,e^{u}$	$e^{u}$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln u$	$u > 0$
$u'\,u^n$ ( $n \geqslant 1$ )	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$u > 0$

Une primitive de $af + bg$ est $aF + bG$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : de la vitesse à la distance

Une voiture démarre et accélère : sa vitesse est $v(t) = 3t$ (en m/s, $t$ en secondes). À $t = 0$ , elle est à 10 m de la ligne de départ. Où est-elle au bout de 6 s ?

La position $d$ vérifie $d'(t) = v(t) = 3t$ . Les primitives de $3t$ sont $d(t) = \dfrac{3t^2}{2} + C$ .
Condition initiale : $d(0) = 10$ , donc $C = 10$ et $d(t) = 1{,}5\,t^2 + 10$ .
$d(6) = 1{,}5 \times 36 + 10 = 64$ : la voiture est à 64 m de la ligne.

Exemple 2 : reconnaître une forme composée

Primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$ : on pose $u(x) = x^2$ , alors $u'(x) = 2x$ et $f = u'e^u$ . Donc $F(x) = e^{x^2}$ .

Primitive de $g(x) = \dfrac{3}{3x + 1}$ sur $]-\frac{1}{3} ; +\infty[$ : avec $u(x) = 3x + 1 > 0$ , $g = \dfrac{u'}{u}$ , donc $G(x) = \ln(3x + 1)$ .

Exemple 3 : ajuster un coefficient

Primitive de $h(x) = (2x + 1)^3$ : avec $u(x) = 2x + 1$ , $u' = 2$ . Il « manque » un facteur 2, on l’ajoute en compensant :

h(x) = \frac{1}{2} \times 2(2x+1)^3 = \frac{1}{2}\,u'u^3 \quad \text{donc} \quad H(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(2x+1)^4}{4} = \frac{(2x+1)^4}{8}

Vérification : $H'(x) = \dfrac{4 \times 2 \,(2x+1)^3}{8} = (2x+1)^3$ . ✓

Toujours vérifier en dérivant

Une primitive se vérifie en une ligne : dérive ta réponse, tu dois retomber exactement sur $f$ . C’est le meilleur réflexe pour éviter les erreurs de coefficient.

Lien avec l’intégrale

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et $F$ est une primitive de $f$ , alors :

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)

Les primitives permettent donc de calculer des aires sans découper en rectangles.

Les pièges classiques

Une primitive de $x^2$ n’est pas $2x$ (c’est sa dérivée !) mais $\dfrac{x^3}{3}$ .
Une primitive d’un produit n’est pas le produit des primitives : il faut reconnaître une forme comme $u'e^u$ .
Une primitive de $\sin$ est $-\cos$ , avec un signe moins.
Ne pas oublier la constante quand on cherche toutes les primitives, ni de la calculer quand il y a une condition initiale.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Physique : de l’accélération on remonte à la vitesse, puis à la position. Un objet lâché sans vitesse a pour vitesse $v(t) = 9{,}8\,t$ et a donc parcouru $4{,}9\,t^2$ mètres : en 2 s de chute, il tombe de 19,6 m.
Hydrologie : si le débit d’une rivière en crue est connu heure par heure, une primitive donne le volume d’eau écoulé. Avec un débit de 300 m³/s pendant une journée, cela fait près de 26 millions de m³, ce qui permet de prévoir le remplissage d’un barrage.
Économie : le coût marginal est la dérivée du coût total. Si chaque objet supplémentaire coûte $C_m(q) = 0{,}02q + 4$ euros, le coût total est $0{,}01q^2 + 4q$ plus les frais fixes : pour 500 objets et 1 000 € de frais fixes, 5 500 €.
Médecine : à partir du débit d’une perfusion (en mL/h), une primitive donne la quantité totale injectée au patient depuis le début du traitement.
Énergie : la consommation électrique d’une maison est la primitive de la puissance. Un radiateur de 2 kW allumé 3 h consomme 6 kWh, soit environ 1,50 € à 0,25 €/kWh.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Laquelle est une primitive de f(x) = 3x² ?
F est la primitive de f(x) = 2x + 1 telle que F(0) = 5. Combien vaut F(2) ?
Une primitive de e^2x est :
Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est :
Un vélo roule à la vitesse v(t) = 2t + 4 (en m/s). Quelle distance (en m) parcourt-il entre t = 0 et t = 5 s ?
Une baignoire se remplit avec un débit de 12 L/min pendant 8 minutes. Quel volume (en L) contient-elle si elle était vide au départ ?

Définition

Les primitives usuelles

Exemples résolus

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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