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L’intégration par parties

Intégration par parties en Terminale : la formule tirée de la dérivée d’un produit, comment choisir u et v′, et des calculs d’intégrales pas à pas.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les primitives , Dérivées usuelles et règles de calcul , Le logarithme népérien

L’intégration par parties échange une intégrale difficile contre une plus facile.

Une primitive de $e^x$ ? Facile. De $x$ ? Aussi. Mais de $x\,e^x$ , aucune formule du produit !

La ruse : on dérive $x$ , on intègre $e^x$ … et il ne reste plus qu’à intégrer $e^x$ . Résultat : ${\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x = 1}$ . Comme échanger une carte rare contre une carte utile !

La formule

Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a ; b]$ , avec $u'$ et $v'$ continues. Alors

\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Bigl[u(x)\,v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx.

L’idée : on dérive un facteur ( $u$ devient $u'$ ) et on primitive l’autre ( $v'$ devient $v$ ). Si le choix est bon, la nouvelle intégrale $\int u' v$ est plus simple que celle de départ.

D’où vient la formule ? De la dérivée d’un produit !— facultatif, à sauter en première lecture

On connaît la dérivée d’un produit : $(uv)' = u'v + uv'$ .

Autrement dit, $uv$ est une primitive de $u'v + uv'$ . Intégrons les deux membres entre $a$ et $b$ (les fonctions sont continues, donc tout est bien défini) :

\int_a^b \bigl(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\bigr)\,dx = \Bigl[u(x)v(x)\Bigr]_a^b.

Par linéarité de l’intégrale, le membre de gauche vaut $\int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx$ . Il suffit de faire passer $\int_a^b u'v\,dx$ de l’autre côté :

\int_a^b u v'\,dx = \Bigl[uv\Bigr]_a^b - \int_a^b u' v\,dx.

C’est tout ! L’intégration par parties n’est que la règle du produit « lue à l’envers ».

Voir la formule

Dans le plan, place $u(x)$ en abscisse et $v(x)$ en ordonnée : quand $x$ va de $a$ à $b$ , le point $\bigl(u(x) ; v(x)\bigr)$ décrit une courbe. Le rectangle pointillé, d’aire $u(b)v(b)$ , privé du petit rectangle gris, d’aire $u(a)v(a)$ , est découpé par la courbe en deux morceaux : l’aire orange vaut $\int_a^b u\,v'\,dx$ et l’aire bleue vaut $\int_a^b u'\,v\,dx$ . Déplace $a$ et $b$ : la somme des deux aires vaut toujours $\bigl[uv\bigr]_a^b$ .

Ce dessin suppose $u$ et $v$ positives et croissantes, mais la formule est vraie dans tous les cas.

Exemples pas à pas

Calculer I = ∫₀¹ x eˣ dx

On pose $u(x) = x$ (qu’on va dériver) et $v'(x) = e^x$ (qu’on va primitiver).

$u'(x) = 1$ et $v(x) = e^x$ .

I = \Bigl[x e^x\Bigr]_0^1 - \int_0^1 1 \times e^x\,dx = (1 \times e - 0) - \Bigl[e^x\Bigr]_0^1 = e - (e - 1) = 1.

Joli résultat : l’aire sous la courbe de $x \mapsto x e^x$ entre 0 et 1 vaut exactement 1.

Une primitive de ln : J = ∫₁ᵉ ln x dx

Astuce : on écrit $\ln x = \ln x \times 1$ . On pose $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = 1$ , donc $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = x$ .

J = \Bigl[x \ln x\Bigr]_1^e - \int_1^e \frac{1}{x} \times x\,dx = (e \times 1 - 0) - \Bigl[x\Bigr]_1^e = e - (e - 1) = 1.

Au passage, on a trouvé qu’une primitive de $\ln x$ est $x \ln x - x$ .

Avec un logarithme : K = ∫₁ᵉ x ln x dx

Ici, on ne sait pas primitiver $\ln x$ facilement, mais on sait le dériver : $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = x$ , donc $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = \dfrac{x^2}{2}$ .

K = \Bigl[\frac{x^2}{2}\ln x\Bigr]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}\,dx = \frac{e^2}{2} - \Bigl[\frac{x^2}{4}\Bigr]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}10.

Bien choisir u et v′

La règle d’or

On choisit pour $u$ le facteur qui se simplifie en le dérivant, et pour $v'$ celui qu’on sait primitiver facilement.

Avec un polynôme et une exponentielle (ou un sinus, un cosinus) : $u$ = le polynôme (il perd un degré à chaque dérivation).
Avec un logarithme : $u = \ln x$ (sa dérivée $\frac{1}{x}$ est bien plus sympathique que lui).

Attention

Mauvais choix : pour $\int x e^x\,dx$ , poser $u = e^x$ et $v' = x$ donne $\int \frac{x^2}{2} e^x\,dx$ : c’est pire qu’au départ ! Si la nouvelle intégrale est plus compliquée, change de choix.
Oublier le signe moins devant la seconde intégrale.
Oublier d’évaluer le crochet $\bigl[uv\bigr]_a^b$ aux deux bornes : c’est $u(b)v(b) - u(a)v(a)$ .
Parfois il faut intégrer par parties deux fois de suite, par exemple pour $\int x^2 e^x\,dx$ .

Brook Taylor, l’homme des séries

On attribue souvent la formule d’intégration par parties à l’Anglais Brook Taylor, qui l’écrit en 1715 dans un livre au titre latin, Methodus Incrementorum. Le même livre contient la fameuse « formule de Taylor », qui permet d’approcher presque n’importe quelle fonction par des polynômes et que ta calculatrice utilise en coulisses. Mais les idées circulaient déjà : Leibniz et les frères Bernoulli jonglaient avec des transformations du même genre dès la fin du XVIIe siècle. À l’époque, on n’écrivait pas encore les bornes $a$ et $b$ sur le signe $\int$ : cette notation n’arrive qu’au début du XIXe siècle, avec Joseph Fourier.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En médecine : pour savoir combien de temps un médicament reste en moyenne dans le corps, les pharmacologues calculent $\dfrac{\int_0^{+\infty} t\,C(t)\,dt}{\int_0^{+\infty} C(t)\,dt}$ avec $C(t) = C_0 e^{-kt}$ . Une intégration par parties donne un temps moyen de $\frac{1}{k}$ , soit 5 heures si $k = 0{,}2$ par heure.
En fiabilité : si la durée de vie d’une ampoule LED suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}000\,04$ par heure, sa durée de vie moyenne $\int_0^{+\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \frac{1}{\lambda}$ vaut 25 000 heures.
En physique : une impulsion électrique qui monte puis s’éteint peut suivre $s(t) = t\,e^{-t}$ (en volts, $t$ en millisecondes). Sa « quantité totale » $\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,dt$ se calcule par parties et vaut exactement 1 V·ms.
En économie : la valeur actuelle d’un revenu qui croît avec le temps, comme $\int_0^{10} 1\,000\,t\,e^{-0{,}05t}\,dt$ (en euros), se calcule par parties ; on trouve environ 36 000 €.
En traitement du son et de l’image : les coefficients « de type Fourier », qui permettent de compresser un MP3 ou un JPEG, s’obtiennent souvent par intégrations par parties successives.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

La formule d’intégration par parties vient de la dérivée…
Pour calculer ∫ x cos x dx, quel choix est le bon ?
Calcule ∫₀¹ x eˣ dx.
Une primitive de ln x sur ]0 ; +∞[ est :
Calcule ∫₀^π x sin x dx (arrondi au centième).
Un médicament s’élimine avec C(t) = C₀e^−0,25t. Le temps moyen de séjour dans le corps vaut 1/k. Combien d’heures ?