Tle 📈 Fonctions Étape 23 / 23 du parcours

Les équations différentielles

Équations différentielles en Terminale : y′ = f, y′ = ay et y′ = ay + b, solutions exponentielles, condition initiale et champ de pentes interactif.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les primitives , La fonction exponentielle , Le logarithme népérien

Une équation différentielle relie une fonction à sa propre dérivée.

Un café à 90 °C refroidit dans une pièce à 20 °C. Plus il est chaud, plus il refroidit vite : $T' = -0{,}1\,(T - 20)$ .

L’inconnue est une fonction, la température $T$ , liée à sa dérivée $T'$ . Résoudre cette équation, c’est prédire l’avenir du café… et de bien d’autres choses.

Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$ , et qui relie $y$ à ses dérivées. Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction dérivable sur $I$ qui vérifie l’équation pour tout $x$ de $I$ .

Le cas le plus simple est $y' = f$ : ses solutions sont exactement les primitives de $f$ . Par exemple, les solutions de $y' = 2x$ sont les fonctions $x \mapsto x^2 + C$ .

Un peu d’histoire

Les équations différentielles sont nées avec le calcul de Newton et de Leibniz, à la fin du XVII^e siècle : dès qu’on sait dériver, on peut écrire des lois de la nature sous la forme « la vitesse de changement dépend de l’état ». En 1701, un article anonyme paru à Londres explique qu’un objet chaud se refroidit d’autant plus vite qu’il est plus chaud que l’air ambiant. Son auteur ? Isaac Newton ! C’est la « loi de refroidissement de Newton », celle du café de l’exemple 1. Dès les années 1690, les frères Bernoulli, puis Euler au XVIII^e siècle, apprennent à résoudre des familles entières de ces équations.

L’équation y′ = ay

Elle traduit une situation très fréquente : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité. Une population de bactéries qui grandit d’autant plus vite qu’elle est nombreuse, un produit radioactif qui se désintègre d’autant plus vite qu’il en reste beaucoup…

Solutions de y′ = ay (a réel)

Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation $y' = ay$ sont les fonctions

x \mapsto C\,e^{ax}, \quad C \text{ constante réelle.}

Pour tous réels $x_0$ et $y_0$ , il existe une unique solution vérifiant la condition initiale $y(x_0) = y_0$ .

Vérification : si $y = Ce^{ax}$ , alors $y' = Cae^{ax} = a \times y$ . ✓ Le signe de $a$ décide de tout : si $a > 0$ , croissance exponentielle ; si $a < 0$ , décroissance vers 0.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

On a vérifié que les fonctions $Ce^{ax}$ sont solutions. Mais pourquoi n’y en a-t-il pas d’autres ? Soit $y$ une solution quelconque de $y' = ay$ . Pose $g(x) = y(x)\,e^{-ax}$ . Alors :

g'(x) = y'(x)\,e^{-ax} - a\,y(x)\,e^{-ax} = \big(y'(x) - a\,y(x)\big)\,e^{-ax} = 0.

Une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ est constante : $g(x) = C$ , donc $y(x) = C\,e^{ax}$ pour tout réel $x$ . Avec la condition $y(x_0) = y_0$ , on trouve $C = y_0\,e^{-ax_0}$ : une seule valeur possible, d’où l’unicité.

L’équation y′ = ay + b

Solutions de y′ = ay + b (a ≠ 0)

La fonction constante $x \mapsto -\dfrac{b}{a}$ est une solution particulière (sa dérivée est nulle et $a \times \left(-\frac{b}{a}\right) + b = 0$ ).
Les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions

x \mapsto C\,e^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C \text{ constante réelle.}

Là encore, une condition initiale fixe une unique solution.

C’est la forme générale « solution de $y' = ay$ + une solution particulière ».

Visualiser : le champ de pentes

Sans rien calculer, on peut « voir » les solutions. En chaque point $(x ; y)$ du plan, l’équation donne la pente qu’aurait une solution passant par là : $ay + b$ . On trace un petit segment de cette pente : c’est le champ de pentes. Une solution est une courbe qui suit ces segments partout.

Règle $a$ et $b$ , puis déplace le point bleu (la condition initiale) : la courbe solution suit le champ. Appuie sur « Lâcher la bille » pour la voir glisser le long des pentes. Avec $a < 0$ , toutes les solutions se rapprochent de la droite verte $y = -\frac{b}{a}$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : le café qui refroidit

L’équation $T' = -0{,}1\,(T - 20)$ s’écrit $T' = -0{,}1\,T + 2$ : c’est $y' = ay + b$ avec $a = -0{,}1$ et $b = 2$ .

Solution constante : $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-0{,}1} = 20$ .
Solutions : $T(t) = C\,e^{-0{,}1t} + 20$ .
Condition initiale $T(0) = 90$ : $C + 20 = 90$ , donc $C = 70$ et $T(t) = 70\,e^{-0{,}1t} + 20$ .
Quand le café est-il à 50 °C ? $70\,e^{-0{,}1t} = 30 \iff e^{-0{,}1t} = \dfrac{3}{7} \iff t = -10\ln\dfrac{3}{7} \approx 8{,}5$ minutes.

Exemple 2 : une culture de bactéries

Une population de bactéries vérifie $N' = 0{,}7\,N$ ( $t$ en heures), avec $N(0) = 1\,000$ .

Les solutions sont $N(t) = C\,e^{0{,}7t}$ , et $N(0) = C = 1\,000$ .
Donc $N(t) = 1\,000\,e^{0{,}7t}$ . Au bout de 5 heures : $N(5) = 1\,000\,e^{3{,}5} \approx 33\,000$ bactéries.
Temps de doublement : $e^{0{,}7t} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}7} \approx 1$ heure.

Exemple 3 : la vitesse limite du parachutiste

En chute avec frottements, la vitesse (en m/s) d’un parachutiste vérifie $v' = -0{,}2\,v + 9{,}8$ , avec $v(0) = 0$ .

Solution constante : $-\dfrac{9{,}8}{-0{,}2} = 49$ .
$v(t) = C\,e^{-0{,}2t} + 49$ et $v(0) = 0$ donnent $C = -49$ : $v(t) = 49\,(1 - e^{-0{,}2t})$ .
Comme $e^{-0{,}2t} \to 0$ , la vitesse tend vers 49 m/s, soit environ 176 km/h : c’est la vitesse limite.

Les pièges classiques

Les solutions de $y' = ay$ sont $Ce^{ax}$ , et non $e^{ax} + C$ : la constante multiplie.
Pour $y' = ay + b$ , la solution particulière est $-\frac{b}{a}$ : attention au signe.
Écris d’abord l’équation sous la forme $y' = ay + b$ : $T' = -0{,}1(T - 20)$ donne $b = +2$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Médecine légale : la loi de refroidissement de Newton, $T' = k(T - T_{\text{pièce}})$ , permet d’estimer l’heure d’un décès à partir de la température du corps, mesurée à deux instants.
Archéologie et nucléaire : la quantité d’atomes radioactifs vérifie $N' = -\lambda N$ . Pour le carbone 14, $\lambda \approx 0{,}000121$ par an, d’où une demi-vie de $\frac{\ln 2}{\lambda} \approx 5\,730$ ans.
Pharmacologie : un médicament éliminé par le foie vérifie $c' = -0{,}35\,c$ (en heures). Sa concentration est divisée par deux toutes les 2 heures environ ( $\frac{\ln 2}{0{,}35} \approx 1{,}98$ ) : cela fixe l’intervalle entre deux prises.
Électronique : la tension d’un condensateur qui se charge dans un circuit RC vérifie $u' = -\frac{1}{RC}u + \frac{E}{RC}$ ; elle tend vers la tension $E$ du générateur. C’est ce qui règle le temps de recharge du flash d’un appareil photo.
Sport et sécurité : la vitesse limite d’un parachutiste (environ 50 m/s en chute libre à plat, 5 m/s parachute ouvert) se calcule avec $v' = -kv + g$ .

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Les solutions de y′ = 3y sont :
Quelle est la solution constante de y′ = −2y + 10 ?
La solution de y′ = y avec y(0) = 4 vérifie y(x) = Ce^x. Combien vaut C ?
Un gâteau sort du four à 180 °C dans une cuisine à 20 °C : T(t) = 160e^−0,05t + 20 (t en min). Quelle est sa température au bout de 20 minutes ? (arrondie à l’unité)
Une population vérifie P′ = 0,02P (t en années). Au bout de combien d’années (arrondi à l’unité) double-t-elle ?
Une bille tombe dans de l’huile : v′ = −5v + 0,5 (en m/s). Vers quelle vitesse limite (en m/s) tend-elle ?