Tle 🧮 Algèbre Étape 10 / 11 du parcours

Limites de suites

Limites de suites en Terminale : limite finie ou infinie, suites géométriques, opérations, gendarmes et convergence monotone, avec une animation.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Suites arithmétiques et géométriques

Une suite a une limite quand ses termes s’approchent autant qu’on veut d’un nombre.

Un patient prend 100 mg d’un médicament chaque matin, et son corps en élimine la moitié en 24 h. Dans son sang, il y a 100 mg, puis 150, 175, 187,5…

La quantité s’approche de 200 mg sans jamais la dépasser : c’est la limite de la suite. Le médecin doit la connaître avant de prescrire.

Suite convergente : limite finie

Dire qu’une suite $(u_n)$ « s’approche de $\ell$ », c’est dire que ses termes finissent par être aussi proches de $\ell$ qu’on le souhaite, et qu’ils le restent.

Définition

La suite $(u_n)$ a pour limite le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et on dit que la suite converge vers $\ell$ .

Le plus souvent, on prend un intervalle centré : $]\ell - \varepsilon ; \ell + \varepsilon[$ , avec $\varepsilon$ (« epsilon ») un petit nombre positif. Choisis une suite, puis réduis $\varepsilon$ avec le curseur : la bande verte se resserre, le rang $N$ recule… mais il existe toujours. Les points rouges sont les termes hors de la bande : il n’y en a qu’un nombre fini.

Remarque la deuxième suite : ses termes sont tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de 1. Une suite convergente n’a pas besoin d’être monotone.

Un peu d’histoire

Vers 450 av. J.-C., le philosophe grec Zénon d’Élée invente un paradoxe célèbre : le rapide Achille ne rattraperait jamais une tortue partie avant lui, car chaque fois qu’il atteint l’endroit où elle était, elle a un peu avancé… et il reste une infinité d’étapes à franchir ! La réponse se trouve dans les limites : une infinité de durées de plus en plus petites peut avoir une somme finie, comme $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ qui se rapproche de 1. Vers 250 av. J.-C., Archimède sait déjà utiliser une telle somme infinie, $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots = \frac{4}{3}$ , pour calculer l’aire d’un morceau de parabole. La définition moderne de la limite, elle, ne date que du XIX^e siècle.

Limite infinie et divergence

Définition

La suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ si tout intervalle $]A ; +\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang : les termes finissent par dépasser n’importe quel seuil $A$ , aussi grand soit-il.

On définit de même $\lim u_n = -\infty$ . Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Une suite divergente peut tendre vers $+\infty$ (comme $n^2$ ), vers $-\infty$ , ou n’avoir aucune limite, comme $(-1)^n$ qui alterne indéfiniment entre $-1$ et $1$ .

Les limites à connaître

Limites de référence

$\lim n = \lim n^2 = \lim \sqrt{n} = +\infty$ ;
$\lim \dfrac{1}{n} = \lim \dfrac{1}{n^2} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$ .

Pour une suite géométrique $q^n$ :

si $q > 1$ , $\lim q^n = +\infty$ ;
si $-1 < q < 1$ , $\lim q^n = 0$ ;
si $q = 1$ , la suite est constante égale à 1 ;
si $q \leqslant -1$ , la suite n’a pas de limite.

Pour combiner ces limites, on utilise des règles intuitives : somme, produit et quotient se comportent « comme on s’y attend ». Seuls quatre cas posent problème, ce sont les formes indéterminées :

\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}

Face à une forme indéterminée, il faut transformer l’écriture, souvent en factorisant par le terme qui domine.

Comparaison et gendarmes

Théorèmes de comparaison

Si $u_n \geqslant v_n$ à partir d’un certain rang et $\lim v_n = +\infty$ , alors $\lim u_n = +\infty$ .
Théorème des gendarmes : si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ à partir d’un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ , alors $\lim u_n = \ell$ .

Convergence monotone

Une suite croissante et majorée converge. Une suite décroissante et minorée converge.

Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .

Ce théorème prouve l’existence de la limite, sans dire combien elle vaut : il faut ensuite la calculer.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi $q^n$ tend vers $+\infty$ quand $q > 1$ ? Écris $q = 1 + a$ avec $a > 0$ . On montre par récurrence l’inégalité de Bernoulli : pour tout entier naturel $n$ , $(1 + a)^n \geqslant 1 + na$ .

Pour $n = 0$ : $1 \geqslant 1$ . ✓
Si $(1 + a)^n \geqslant 1 + na$ , on multiplie par $1 + a > 0$ : $(1 + a)^{n+1} \geqslant (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na^2 \geqslant 1 + (n + 1)a$ .

Or $\lim (1 + na) = +\infty$ car $a > 0$ . Le théorème de comparaison donne alors $\lim q^n = +\infty$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : le médicament

Avec 100 mg pris chaque jour et la moitié éliminée en 24 h, la quantité (en mg) juste après la $n$ -ième prise vérifie $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 100$ , avec $u_1 = 100$ . On montre (en posant $v_n = u_n - 200$ , qui est géométrique de raison 0,5) que :

u_n = 200 - 100 \times 0{,}5^{\,n-1}

Comme $-1 < 0{,}5 < 1$ , $\lim 0{,}5^{\,n-1} = 0$ .
Donc $\lim u_n = 200 - 100 \times 0 = 200$ .

Le traitement se stabilise autour de 200 mg, sans jamais les dépasser.

Exemple 2 : lever une forme indéterminée

Limite de $u_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$ : le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ , c’est la forme $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $n$ :

u_n = \frac{n\left(3 + \frac{1}{n}\right)}{n\left(1 + \frac{2}{n}\right)} = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}

Comme $\frac{1}{n}$ et $\frac{2}{n}$ tendent vers 0, $\lim u_n = \dfrac{3}{1} = 3$ . C’est la troisième suite du widget.

Exemple 3 : les gendarmes

Limite de $u_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ . Pour tout $n \geqslant 1$ , $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$ , donc :

2 - \frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 2 + \frac{1}{n}

Les deux « gendarmes » tendent vers 2, donc $\lim u_n = 2$ .

Les pièges classiques

« Les termes se rapprochent de 2 » ne suffit pas : $1 - \frac{1}{n}$ se rapproche de 2 à chaque rang, mais sa limite est 1 ! Il faut que les termes finissent par rester aussi près qu’on veut.
$\infty - \infty$ ne vaut pas 0 : $\lim (n^2 - n) = +\infty$ (factorise par $n^2$ ).
Croissante ne veut pas dire « tend vers $+\infty$ » : $1 - \frac{1}{n}$ est croissante et converge vers 1.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pharmacologie : pour un médicament pris chaque jour, la limite de la suite des quantités donne la dose d’équilibre. Avec 100 mg par jour et 50 % éliminés, le patient se stabilise à 200 mg : le médecin vérifie que ce niveau est efficace et sans danger.
Physique : une balle lâchée de 2 m remonte à 70 % de sa hauteur à chaque rebond. Les hauteurs $2 \times 0{,}7^n$ tendent vers 0, et la distance totale parcourue converge vers environ 11,3 m : la balle s’arrête en un temps fini.
Informatique : un ordinateur peut calculer $\sqrt{2}$ avec la suite de Héron ( $u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n}$ ) qui converge si vite qu’en 5 étapes on a plus de 10 décimales exactes.
Écologie : un lac contient 10 tonnes de polluant, 20 % sont filtrées chaque année et 1 tonne est rejetée. La quantité tend vers 5 tonnes : la limite dit si la norme sera un jour respectée.
Finance : un capital placé à 3 % par an suit $C_0 \times 1{,}03^n$ , qui tend vers $+\infty$ ; une voiture qui perd 15 % de sa valeur par an voit sa cote $V_0 \times 0{,}85^n$ tendre vers 0.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la limite de la suite u_n = 5 + 4/n ?
Quelle est la limite de 0,9ⁿ ?
La suite (−2)ⁿ :
Quelle est la limite de (6n − 1)/(2n + 5) ?
Un patient prend 50 mg d’un médicament chaque jour ; son corps en élimine 75 % en 24 h. La quantité vérifie u_n+1 = 0,25 u_n + 50. Vers quelle quantité (en mg) se stabilise-t-elle ?
Une balle remonte à 60 % de sa hauteur précédente. Partie de 5 m, vers quelle hauteur tendent ses rebonds ?