1re 🧮 Algèbre Étape 9 / 11 du parcours

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques en 1re : raison, terme général, sens de variation et sommes, avec une animation qui compare croissance linéaire et exponentielle.

Arithmétique : on ajoute toujours pareil. Géométrique : on multiplie toujours pareil.

Deux contrats à 1 000 € par mois. A : +30 € chaque mois. B : +2 % chaque mois.

Après un an, A gagne : 1 360 € contre 1 268 €. Mais après cinq ans, B l’écrase : 3 281 € contre 2 800 €.

Qu’est-ce qu’une suite ?

Définition

Une suite $(u_n)$ est une liste de nombres numérotés par les entiers naturels : $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , … Le nombre $u_n$ s’appelle le terme de rang $n$ (ou d’indice $n$ ).

Une suite peut être donnée de deux façons :

par une formule explicite : $u_n = 3n + 1$ permet de calculer directement $u_{10} = 31$ ;
par une relation de récurrence : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$ . Chaque terme se calcule à partir du précédent.

Les suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = u_n + r

Le nombre $r$ est la raison de la suite. On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours $r$ .

Terme général d’une suite arithmétique

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ , alors pour tout entier naturel $n$ :

u_n = u_0 + n \times r

Plus généralement, pour tous entiers $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n - p) \times r$ .

Si $r \gt 0$ , la suite est croissante ; si $r \lt 0$ , elle est décroissante.
Les points de coordonnées $(n ; u_n)$ sont alignés : c’est une croissance linéaire.

Les suites géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1} = q \times u_n

Le nombre $q$ est la raison de la suite. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par $q$ .

Terme général d’une suite géométrique

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ , alors pour tout entier naturel $n$ :

u_n = u_0 \times q^n

Pour $u_0 \gt 0$ : si $q \gt 1$ , la suite est croissante ; si $0 \lt q \lt 1$ , elle est décroissante. Si $q$ est négatif, les termes changent de signe à chaque étape.

Linéaire contre exponentielle

Construis les 12 premiers termes de chaque type de suite. Change $u_0$ , la raison, puis passe d’un type à l’autre avec le bouton du haut. Appuie sur ▶ pour voir les barres se construire une à une.

Avec une suite arithmétique, le haut des barres forme une ligne droite. Avec une suite géométrique de raison $q \gt 1$ , la courbe démarre doucement… puis s’envole : c’est une croissance exponentielle. Tôt ou tard, elle dépasse n’importe quelle suite arithmétique.

Des exemples résolus

Exemple : retour sur les deux contrats

On note $a_n$ et $b_n$ les salaires du mois $n$ (le premier mois correspond à $n = 0$ ).

Contrat A : on ajoute 30 € chaque mois, donc $(a_n)$ est arithmétique de raison $30$ et $a_n = 1000 + 30n$ .
Contrat B : augmenter de 2 %, c’est multiplier par $1 + \dfrac{2}{100} = 1{,}02$ . Donc $(b_n)$ est géométrique de raison $1{,}02$ et $b_n = 1000 \times 1{,}02^n$ .
Au bout d’un an ( $n = 12$ ) : $a_{12} = 1360$ € et $b_{12} = 1000 \times 1{,}02^{12} \approx 1268$ €. Le contrat A gagne.
Au bout de cinq ans ( $n = 60$ ) : $a_{60} = 2800$ € et $b_{60} \approx 3281$ €. Le contrat B a largement rattrapé son retard !

Exemple : reconnaître une suite

Les nombres 5 ; 8 ; 11 ; 14 forment le début d’une suite arithmétique : on ajoute 3 à chaque fois.

Les nombres 3 ; 6 ; 12 ; 24 forment le début d’une suite géométrique : on multiplie par 2 à chaque fois, car $\dfrac{6}{3} = \dfrac{12}{6} = \dfrac{24}{12} = 2$ .

Les nombres 1 ; 4 ; 9 ; 16 ne sont ni l’un ni l’autre : les écarts (3, 5, 7) ne sont pas constants, et les quotients non plus.

Additionner des termes

Deux sommes à connaître

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}

Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$ :

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

Un peu d’histoire

Une anecdote célèbre (peut-être un peu enjolivée au fil du temps) raconte que le jeune Carl Friedrich Gauss, vers l’âge de 9 ans, a stupéfié son instituteur. Pour occuper la classe, celui-ci avait demandé de calculer $1 + 2 + \dots + 100$ . Gauss a presque aussitôt posé son ardoise avec la réponse 5 050. Son astuce : regrouper $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98$ … ce qui donne 50 paires valant chacune 101. Côté géométrique, une légende indienne raconte qu’un roi accepta de payer l’inventeur des échecs avec 1 grain de riz sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, et ainsi de suite : il lui en aurait fallu $2^{64} - 1$ , soit plus de 18 milliards de milliards de grains !

Par exemple, $1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$ , et $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{9} = \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 1023$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Démontrons la somme géométrique. Notons $S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n$ , et multiplions par $q$ :

qS = q + q^2 + \dots + q^n + q^{n+1}

En soustrayant, presque tout se simplifie : $S - qS = 1 - q^{n+1}$ , c’est-à-dire $(1 - q)\,S = 1 - q^{n+1}$ . Comme $q \neq 1$ , on peut diviser par $1 - q$ : $S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

Pour la somme $1 + 2 + \dots + n$ , on écrit la somme deux fois, une fois à l’endroit et une fois à l’envers : chaque colonne vaut $n + 1$ , il y a $n$ colonnes, donc $2S = n(n+1)$ .

Les pourcentages

Une hausse de $t$ % revient à multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ , une baisse de $t$ % à multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ . Dès qu’un énoncé parle d’évolution en pourcentage constant, pense « suite géométrique ».

Les pièges classiques

Regarde bien le premier indice. Si la suite commence à $u_1$ , la formule devient $u_n = u_1 + (n - 1)r$ ou $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ .
$u_0 \times q^n$ n’est pas $(u_0 \times q)^n$ : la puissance porte seulement sur $q$ .
Le terme de rang $n$ n’est pas le $n$ -ième terme : quand on commence à $u_0$ , le 10ᵉ terme est $u_9$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

À la banque : 1 000 € placés sur un livret à 3 % par an deviennent $1\,000 \times 1{,}03^n$ euros après $n$ années (intérêts composés) : environ 1 344 € après 10 ans. C’est une suite géométrique de raison 1,03.
Pour un loyer ou un abonnement : un loyer de 600 € par mois qui augmente de 15 € chaque année suit une suite arithmétique : $600 + 15n$ , soit 750 € au bout de 10 ans.
En médecine : le corps élimine environ 30 % d’un médicament chaque heure. La quantité restante est multipliée par 0,7 : partie de 500 mg, elle tombe à $500 \times 0{,}7^4 \approx 120$ mg au bout de 4 heures.
En informatique : la puissance des processeurs a longtemps doublé tous les deux ans environ (loi de Moore) : en 20 ans, c’est 10 doublements, soit $2^{10} \approx 1\,000$ fois plus de transistors.
En écologie : une population de 1 000 poissons qui diminue de 8 % par an à cause de la surpêche n’en compte plus que $1\,000 \times 0{,}92^{10} \approx 434$ au bout de 10 ans.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Ta tirelire contient 5 €, et tu y ajoutes 3 € chaque semaine. On note u_n la somme après n semaines (u₀ = 5). Combien contient-elle après 10 semaines (en €) ?
Une rumeur est connue de 2 personnes au départ, et le nombre de personnes au courant triple chaque heure. On note v_n ce nombre après n heures (v₀ = 2). Combien vaut v₄ ?
Quelle est la raison de la suite arithmétique 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; … ?
Une population augmente de 2 % par an. Par quel nombre multiplie-t-on chaque année ?
La relation u_n+1 = 1,05 × u_n définit une suite :
Combien vaut la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 ?

Qu’est-ce qu’une suite ?

Les suites arithmétiques

Les suites géométriques

Linéaire contre exponentielle

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Additionner des termes

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

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