2nde 🧮 Algèbre Étape 8 / 11 du parcours

Les systèmes de deux équations

Systèmes de deux équations à deux inconnues : interprétation avec deux droites, méthodes par substitution et par combinaison, nombre de solutions.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Résoudre une équation , Fonctions linéaires et fonctions affines

Deux inconnues ? Il faut deux équations. La solution est le point commun des droites.

Au cinéma, 2 adultes et 3 enfants paient 41 €, puis 1 adulte et 2 enfants paient 24 €. Une seule équation ne suffit pas.

Avec les deux à la fois, on coince les inconnues : une place adulte coûte 10 €, une place enfant 7 €.

Qu’est-ce qu’un système ?

Notons $x$ le prix d’une place adulte et $y$ celui d’une place enfant (en euros). Les deux informations s’écrivent :

\begin{cases} 2x + 3y = 41 \\ x + 2y = 24 \end{cases}

Définition

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ s’écrit :

\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}

où $a$ , $b$ , $c$ , $a'$ , $b'$ , $c'$ sont des nombres réels. Une solution est un couple $(x\,;\,y)$ qui vérifie les deux équations en même temps.

Un peu d’histoire

Il y a près de 2 000 ans, des savants chinois résolvaient déjà des systèmes. Le livre Les Neuf Chapitres sur l’art du calcul, compilé vers le Ier siècle, consacre tout un chapitre à des problèmes comme : « 3 gerbes de bonne récolte, 2 de moyenne et 1 de mauvaise donnent 39 boisseaux de grain… ». Les calculateurs disposaient les coefficients en tableau sur une planche, avec des baguettes, puis combinaient les colonnes pour faire disparaître les inconnues une à une. C’est exactement la méthode par combinaison, que l’on appelle aujourd’hui en Europe « méthode de Gauss » !

Par exemple, $(10\,;\,7)$ est-il solution ? $2 \times 10 + 3 \times 7 = 41$ ✔ et $10 + 2 \times 7 = 24$ ✔. Oui ! Mais $(19\,;\,1)$ vérifie la première équation ( $38 + 3 = 41$ ) et pas la seconde ( $19 + 2 = 21 \neq 24$ ) : ce n’est pas une solution du système.

Deux équations, deux droites

Lorsque $b \neq 0$ , l’équation $ax + by = c$ peut s’écrire $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$ : c’est l’équation d’une droite (si $b = 0$ , c’est une droite verticale). Tous les points de cette droite sont solutions de l’équation. Résoudre le système, c’est donc chercher les points communs aux deux droites.

Règle les coefficients des deux équations. Le point vert est l’intersection des droites : ses coordonnées sont la solution. Essaie aussi de rendre les droites parallèles (par exemple $x + y = 2$ et $x + y = 5$ ), puis confondues ( $x + y = 2$ et $2x + 2y = 4$ ).

Nombre de solutions

Le système $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$ admet :

une unique solution lorsque les droites sont sécantes, c’est-à-dire lorsque $ab' - a'b \neq 0$ ;
aucune solution lorsque les droites sont strictement parallèles ;
une infinité de solutions lorsque les droites sont confondues.

Les deux derniers cas correspondent à $ab' - a'b = 0$ .

Le nombre $ab' - a'b$ est le déterminant du système. Il dit, en un seul calcul, si les droites sont sécantes.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi le déterminant détecte-t-il les droites parallèles ? Supposons $b \neq 0$ et $b' \neq 0$ . Les deux droites ont pour coefficients directeurs $-\dfrac{a}{b}$ et $-\dfrac{a'}{b'}$ . Elles sont parallèles (ou confondues) exactement quand ces coefficients sont égaux :

\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \iff ab' = a'b \iff ab' - a'b = 0

(on a multiplié par $bb' \neq 0$ ). Si $b = 0$ , la première droite est verticale ( $ax = c$ , avec $a \neq 0$ ) ; le déterminant vaut alors $ab'$ , nul seulement si $b' = 0$ , c’est-à-dire si l’autre droite est verticale aussi. Dans tous les cas : déterminant nul $\iff$ droites parallèles ou confondues.

Méthode 1 : par substitution

On exprime une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, puis on la remplace dans l’autre.

Le cinéma : résolution par substitution

\begin{cases} 2x + 3y = 41 \\ x + 2y = 24 \end{cases}

Déterminant : $2 \times 2 - 1 \times 3 = 1 \neq 0$ , il y a une unique solution.
La deuxième équation donne facilement $x$ : $x = 24 - 2y$ .
On remplace dans la première : $2(24 - 2y) + 3y = 41$ , soit $48 - 4y + 3y = 41$ , donc $-y = -7$ et $y = 7$ .
On revient à $x = 24 - 2 \times 7 = 10$ .
Conclusion : la place adulte coûte 10 € et la place enfant 7 €. La solution est le couple $(10\,;\,7)$ .

Quand choisir la substitution ?

Elle est idéale quand une inconnue a un coefficient égal à $1$ ou $-1$ : on l’isole sans fractions.

Méthode 2 : par combinaison

On multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que, en les additionnant (ou en les soustrayant), une inconnue disparaisse.

La papeterie : résolution par combinaison

3 cahiers et 2 classeurs coûtent 16 €. Le prix de 5 cahiers dépasse de 8 € celui de 2 classeurs. Avec $x$ le prix d’un cahier et $y$ celui d’un classeur :

\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}

Les coefficients de $y$ sont opposés : on additionne les deux équations. $8x = 24$ , donc $x = 3$ .
On remplace dans la première : $9 + 2y = 16$ , donc $y = 3{,}5$ .
Un cahier coûte 3 € et un classeur 3,50 €. Vérification : $5 \times 3 - 2 \times 3{,}5 = 8$ ✔

Quand il faut d’abord multiplier

\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x - 4y = 1 \end{cases}

Pour éliminer $x$ , on multiplie la 1re équation par 3 et la 2e par 2 : $6x + 9y = 36$ et $6x - 8y = 2$ . En soustrayant : $17y = 34$ , donc $y = 2$ . Puis $2x + 6 = 12$ donne $x = 3$ . La solution est $(3\,;\,2)$ .

Les pièges

Une solution est un couple : il faut donner $x$ et $y$ .
Quand on multiplie une équation, on multiplie tous ses termes, y compris le second membre.
Toujours vérifier le couple trouvé dans les deux équations de départ : une erreur de signe est vite arrivée.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

La chimie et la pharmacie : pour obtenir 100 mL de solution à 12 % en mélangeant des solutions à 10 % et à 20 %, on résout $x + y = 100$ et $0{,}10x + 0{,}20y = 12$ . On trouve 80 mL de la première et 20 mL de la seconde.
L’économie : le prix d’équilibre d’un marché est le point où l’offre $y = 2x - 4$ rencontre la demande $y = -x + 11$ . On trouve $x = 5$ € et 6 000 unités vendues (si $y$ est en milliers).
La nutrition : un sportif veut 70 g de protéines avec du riz (7 g pour 100 g) et des lentilles (9 g pour 100 g), pour 900 g d’aliments en tout. Avec $x$ et $y$ en centaines de grammes : $x + y = 9$ et $7x + 9y = 70$ , donc $y = 3{,}5$ et $x = 5{,}5$ : 550 g de riz et 350 g de lentilles.
L’électricité : les lois de Kirchhoff donnent un système d’équations dont les inconnues sont les intensités dans chaque branche d’un circuit. Les ingénieurs résolvent ainsi des circuits de smartphones avec des milliers d’équations.
Le GPS et l’informatique graphique : calculer où deux trajectoires se croisent, ou où un rayon lumineux touche un objet dans un jeu vidéo, revient à résoudre des systèmes, des millions de fois par seconde.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Le couple (2 ; 3) est-il solution du système x + y = 5 et 2x − y = 1 ?
Résous x + y = 10 et x − y = 4. Que vaut x ?
Combien de solutions a le système 2x + y = 3 et 4x + 2y = 7 ?
Calcule le déterminant ab′ − a′b du système 3x − 2y = 1 et x + 4y = 5.
Dans une ferme, il y a des poules et des lapins : 20 têtes et 56 pattes. Combien y a-t-il de lapins ?
Un café vend des glaces à 3 € et des crêpes à 4 €. Il a vendu 50 desserts pour 172 €. Combien de crêpes ?