Résoudre une équation
Résoudre une équation du premier degré pas à pas avec une balance : faire la même opération des deux côtés, isoler x et vérifier.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le calcul littéral
Résoudre une équation, c’est trouver le nombre caché qui rend l’égalité vraie.
Tu achètes 3 cahiers identiques et une gomme à 2 €. Tu paies 14 € : .
On enlève 2 de chaque côté, puis on divise par 3 : un cahier coûte 4 €. Une méthode qui marche à tous les coups !
Qu’est-ce qu’une équation ?
Une équation est une égalité dans laquelle il y a un nombre inconnu, représenté par une lettre (souvent ), qu’on appelle l’inconnue.
Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Chacune de ces valeurs est une solution.
Vers 820, à Bagdad, le savant Al-Khwârizmî écrit un livre pour résoudre les équations qui servent dans la vie de tous les jours : partager un héritage, mesurer des terrains, faire du commerce. Il y décrit deux opérations : al-jabr, qui consiste à faire passer un terme soustrait de l’autre côté, et al-muqâbala, qui consiste à regrouper les termes semblables. Le mot al-jabr a donné notre mot algèbre, et le nom d’Al-Khwârizmî a donné le mot algorithme ! À son époque, tout s’écrivait en phrases, sans lettres : c’est Descartes, en 1637, qui a rendu habituel l’usage de pour l’inconnue.
Pour les cahiers, si est le prix d’un cahier en euros, on obtient l’équation :
Est-ce que 5 est solution de ? On remplace : . Or : non, 5 n’est pas solution.
Est-ce que 4 est solution ? : oui !
Tester des valeurs, c’est long. Il faut une vraie méthode.
L’idée de la balance
Une équation, c’est comme une balance en équilibre. À gauche, 3 boîtes de masse et 2 poids de 1. À droite, 14 poids de 1. La balance est équilibrée, donc les deux côtés ont la même masse.
Pour trouver la masse d’une boîte, il faut la laisser seule sur un plateau, sans jamais déséquilibrer la balance. Utilise les boutons pour retirer des poids, puis partage les plateaux. Essaie aussi « −1 à gauche seulement » pour voir ce qui se passe quand on ne fait pas la même chose des deux côtés !
Une égalité reste vraie si :
- on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres ;
- on multiplie ou on divise les deux membres par le même nombre non nul.
La méthode pas à pas
- On veut enlever le : on soustrait 2 des deux côtés. , donc .
- On veut enlever le « » : on divise par 3 les deux côtés. , donc .
- Vérification : . ✔
La solution est : un cahier coûte 4 €.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture
Pourquoi la méthode trouve-t-elle LA solution, et pas seulement une solution ? Chaque étape peut se faire dans les deux sens :
Si , on soustrait 2 et on obtient ; et réciproquement, si , on ajoute 2 et on retrouve . Pareil pour la division par 3, qu’on défait en multipliant par 3. Les trois équations ont donc exactement les mêmes solutions : la dernière n’en a qu’une, , donc la première aussi. C’est pour cela qu’on interdit de multiplier par 0 : cette étape-là ne se défait pas.
On fait le chemin à l’envers du calcul : dans , on multiplie par 3 puis on ajoute 2. Pour défaire, on enlève d’abord le 2, puis on divise par 3. Comme quand on enlève ses chaussures avant ses chaussettes !
- On ajoute 7 des deux côtés : .
- On divise par 5 : .
- Vérification : . ✔
Quand x est des deux côtés
Parfois, l’inconnue apparaît dans les deux membres. On commence par regrouper tous les du même côté.
- On soustrait des deux côtés : , donc .
- On ajoute 4 des deux côtés : .
- On divise par 4 : .
- Vérification : à gauche ; à droite . ✔
Des solutions qui ne sont pas entières
Une solution peut être un nombre négatif ou une fraction. Pour : on soustrait 9, , puis on divise par 2 : . C’est une solution tout à fait correcte !
Mettre un problème en équation
Lina a 3 ans de plus que son frère. À eux deux, ils ont 25 ans. Quel âge a le frère ?
- Choisir l’inconnue : soit l’âge du frère. Lina a donc ans.
- Écrire l’équation : , c’est-à-dire .
- Résoudre : , donc .
- Conclure par une phrase : le frère a 11 ans et Lina 14 ans. On vérifie : . ✔
- Il faut faire la même opération des deux côtés, sinon la balance penche et l’égalité devient fausse.
- Dans , on divise par 3 (on ne soustrait pas 3) : veut dire .
- N’oublie pas de vérifier ta solution en la remplaçant dans l’équation de départ.
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Pour choisir un abonnement : une salle de sport propose 10 € par séance, ou un abonnement à 60 € plus 4 € par séance. Les deux coûtent pareil quand , soit séances. Au-delà, l’abonnement est plus avantageux.
- Pour économiser : tu as 35 € et tu veux une console de jeux à 155 €. En mettant 20 € de côté chaque mois, donne mois d’attente.
- En physique : un objet de 120 g a un volume de 15 cm³. Sa masse volumique vérifie , donc g/cm³ : c’est sans doute de l’acier.
- En cuisine : pour convertir 350 °F en degrés Celsius, on résout : °C. C’est la température de ton four !
- En voyage : un taxi demande 4 € de prise en charge plus 1,50 € par km. Avec 25 € en poche, donne : tu peux faire 14 km.