4e 🧮 Algèbre Étape 3 / 11 du parcours

Mettre un problème en équation

Mettre un problème en équation en 4e : choisir l’inconnue, traduire l’énoncé, résoudre l’équation puis vérifier et conclure par une phrase.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Résoudre une équation , Le calcul littéral

On traduit l’histoire en équation, puis on la résout.

« Places de ciné à 8 €, j’ai payé 32 €. » Combien de places ? On note $x$ ce nombre : $8x = 32$ , donc $x = 4$ .

Dans la vraie vie, personne ne te tend une équation toute prête. Mais une méthode en 4 étapes, toujours la même, fait le travail.

La méthode en 4 étapes

Mettre un problème en équation

Choisir l’inconnue : repérer ce que l’on cherche et le nommer avec une lettre, en précisant l’unité. « Soit $x$ le nombre de… »
Traduire l’énoncé : écrire chaque information sous forme d’expression avec $x$ .
Écrire l’équation : trouver deux expressions égales et les relier par le signe $=$ .
Résoudre, vérifier, conclure : résoudre l’équation, vérifier la solution dans l’énoncé, puis répondre par une phrase.

La méthode en action

Clique d’abord sur le morceau de l’énoncé qui indique ce que l’on cherche. Ensuite, le bouton traduit chaque phrase en morceau de calcul, assemble l’équation puis la résout. Le bouton « Autre problème » propose quatre situations différentes.

Étape 1 : bien choisir l’inconnue

En général, l’inconnue est ce que demande la question. Si plusieurs quantités sont inconnues, on choisit celle qui permet d’exprimer facilement les autres.

Les deux frères

« Hugo a 5 ans de moins que son frère Sam. » Si on pose $x$ = l’âge de Sam, alors Hugo a $x - 5$ ans. On aurait aussi pu poser $x$ = l’âge d’Hugo : Sam a alors $x + 5$ ans. Les deux choix marchent ; il faut juste écrire clairement lequel on fait.

Étape 2 : le dictionnaire français → maths

Dans l’énoncé	En maths
le double de $x$	$2x$
la moitié de $x$	$\dfrac{x}{2}$
7 de plus que $x$	$x + 7$
3 de moins que $x$	$x - 3$
le triple de la somme de $x$ et 4	$3(x + 4)$
le nombre suivant $x$	$x + 1$
15 % de $x$	$0{,}15x$

Étape 3 et 4 : deux problèmes complets

La location de vélos

Une location de vélo coûte 8 € de frais fixes plus 3 € de l’heure. Maëlle a payé 26 €. Combien de temps a-t-elle roulé ?

Inconnue : soit $x$ le nombre d’heures de location.
Traduction : le prix payé est $8 + 3x$ .
Équation : $8 + 3x = 26$ .
Résolution : $3x = 18$ , donc $x = 6$ . Vérification : $8 + 3 \times 6 = 26$ ✔. Conclusion : Maëlle a roulé 6 heures.

Trois nombres qui se suivent

La somme de trois nombres entiers consécutifs vaut 147. Quels sont ces nombres ?

Soit $n$ le plus petit des trois. Les suivants sont $n + 1$ et $n + 2$ .
Leur somme est $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$ .
Équation : $3n + 3 = 147$ .
$3n = 144$ , donc $n = 48$ . Vérification : $48 + 49 + 50 = 147$ ✔. Les nombres sont 48, 49 et 50.

Les pièges à éviter

Attention

Oublier de définir $x$ : « $x = 7$ » ne veut rien dire si on ne sait pas que $x$ est un nombre de films.
Mélanger les unités : si $x$ est en heures, tous les prix doivent être « par heure », pas « par minute ».
Ne pas vérifier dans l’énoncé : une solution comme $x = -3$ pour un nombre de films, ou $x = 2{,}5$ pour un nombre d’élèves, doit faire tiquer !
Oublier la phrase de conclusion : le problème pose une question en français, on y répond en français.

Tester avec un nombre au hasard

Tu bloques sur la traduction ? Remplace l’inconnue par un nombre au hasard, par exemple 10 films, et calcule le prix : $12 + 4 \times 10$ . Il suffit ensuite de remettre $x$ à la place de 10 pour obtenir l’expression $12 + 4x$ .

Al-Khwarizmi et l’énigme de Diophante

Vers 820, à Bagdad, le savant Al-Khwarizmi écrit un livre pour résoudre des problèmes d’héritage, de commerce et d’arpentage. Son titre contient le mot al-jabr (« la remise en place »), qui a donné notre mot algèbre, et son propre nom a donné le mot algorithme. Curiosité : il n’utilisait aucune lettre, il écrivait tout en phrases ! Bien avant lui, une énigme racontait la vie du Grec Diophante : son enfance dura $\frac{1}{6}$ de sa vie, sa jeunesse $\frac{1}{12}$ , puis il se maria après encore $\frac{1}{7}$ ; cinq ans plus tard naquit un fils, qui vécut la moitié de l’âge de son père ; Diophante mourut quatre ans après son fils. Mets ça en équation… tu trouveras qu’il a vécu 84 ans.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour choisir un abonnement : une salle de sport propose 25 € par mois ou 6 € la séance. En résolvant $6x = 25$ , on trouve $x \approx 4{,}2$ : à partir de 5 séances par mois, l’abonnement est plus avantageux.
Pour une fête : 3 pizzas identiques et 12 € de boissons ont coûté 48 €. Avec $3x + 12 = 48$ , on trouve qu’une pizza coûte 12 € : de quoi vérifier le ticket.
En sport : pour finir un 10 km en 50 minutes après 4 km parcourus en 22 minutes, on résout $6 \times v = 28$ (en min par km) : il faut courir les 6 km restants à environ 4 min 40 s par kilomètre.
En économie domestique : un taxi facture 4 € de prise en charge plus 1,50 € par km. Avec 25 € en poche, $4 + 1{,}5x = 25$ donne $x = 14$ km maximum.
En jeu vidéo : un personnage a 120 points de vie et perd 15 points par coup. $120 - 15x = 0$ donne $x = 8$ : il tombe au 8e coup.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

« Le triple d’un nombre, diminué de 4 » s’écrit :
Un forfait coûte 5 € plus 2 € par séance. Lina a payé 29 €. Combien de séances a-t-elle faites ?
La somme de deux nombres entiers consécutifs vaut 85. Quel est le plus petit ?
Un rectangle a une longueur égale au triple de sa largeur et un périmètre de 48 cm. Quelle est sa largeur (en cm) ?
Quelle est l’étape qu’on oublie le plus souvent ?
Une mère a 36 ans et sa fille 8 ans. Dans combien d’années la mère aura-t-elle le triple de l’âge de sa fille ?