3e 🧮 Algèbre Étape 4 / 11 du parcours

Développer et factoriser

Développer et factoriser une expression littérale : simple et double distributivité, facteur commun, expliqués avec des rectangles algébriques.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le calcul littéral , Multiplier des nombres relatifs

Développer : un produit devient une somme. Factoriser : l’inverse.

Un jardin carré de côté $x$ m est agrandi de 3 m en longueur et 2 m en largeur : son aire devient $(x + 3)(x + 2)$ .

Pour la comparer à l’ancienne aire $x^2$ , mieux vaut une somme : c’est développer. Le chemin inverse, c’est factoriser.

Deux écritures de la même chose

Définition

Développer une expression, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence).
Factoriser une expression, c’est transformer une somme (ou une différence) en un produit.

\underbrace{3(x + 2)}_{\text{forme factorisée}} \quad \xrightarrow{\ \text{développer}\ } \quad \underbrace{3x + 6}_{\text{forme développée}}

Les deux écritures sont égales pour toutes les valeurs de $x$ : on ne change pas la valeur, seulement la forme.

Un peu d’histoire

Le mot « algèbre » vient du titre d’un livre écrit à Bagdad vers 820 par le savant persan al-Khwârizmî : Kitâb al-jabr wa-l-muqâbala. Il n’utilisait ni lettres ni symboles : tout était écrit en phrases ! Pour justifier ses calculs, il dessinait des carrés et des rectangles, exactement comme ceux de l’animation plus bas. Bien avant lui, vers 300 av. J.-C., Euclide démontrait déjà par un dessin que le carré de côté $a + b$ se découpe en un carré $a^2$ , un carré $b^2$ et deux rectangles $ab$ . Le nom d’al-Khwârizmî a d’ailleurs donné un autre mot célèbre : « algorithme ».

La simple distributivité

Simple distributivité

Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

k(a + b) = ka + kb \qquad\qquad k(a - b) = ka - kb

Développer −2(3x − 5)

On distribue $-2$ à chaque terme, avec son signe :

-2(3x - 5) = (-2) \times 3x + (-2) \times (-5) = -6x + 10

La double distributivité en images

Pour développer $(a + b)(c + d)$ , on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. Le dessin explique pourquoi : un rectangle de côtés $(a + b)$ et $(c + d)$ se découpe en quatre petits rectangles.

Dans l’animation, choisis la largeur et la hauteur du rectangle. Les carrés bleus mesurent $x$ sur $x$ (aire $x^2$ ), les bandes vertes $x$ sur 1 (aire $x$ ), les petits carreaux orange 1 sur 1. Clique sur « Développer » : le rectangle se démonte et on compte les morceaux. « Factoriser » fait l’inverse : on range le tas en rectangle !

Double distributivité

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

On peut se passer du dessin : il suffit d’utiliser deux fois la simple distributivité. On traite d’abord $(a + b)$ comme un seul nombre $k$ :

(a + b)(c + d) = (a + b) \times c + (a + b) \times d

puis on distribue à nouveau dans chaque morceau :

(a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd

Le dessin des rectangles fonctionne pour des longueurs positives ; ce calcul, lui, est valable pour tous les nombres, même négatifs.

Le jardin agrandi : (x + 3)(x + 2)

\begin{aligned} (x + 3)(x + 2) &= x \times x + x \times 2 + 3 \times x + 3 \times 2 \\ &= x^2 + 2x + 3x + 6 \\ &= x^2 + 5x + 6 \end{aligned}

L’aire a augmenté de $5x + 6$ m². Pour un jardin de 10 m de côté, cela fait $5 \times 10 + 6 = 56$ m² de plus.

Avec des signes : (2x − 1)(x − 4)

\begin{aligned} (2x - 1)(x - 4) &= 2x \times x + 2x \times (-4) + (-1) \times x + (-1) \times (-4) \\ &= 2x^2 - 8x - x + 4 \\ &= 2x^2 - 9x + 4 \end{aligned}

Factoriser : trouver le facteur commun

Factoriser, c’est lire la distributivité de droite à gauche : $ka + kb = k(a + b)$ . Il faut repérer un facteur commun à tous les termes.

Factoriser 6x + 15

$6x = 3 \times 2x$ et $15 = 3 \times 5$ . Le facteur commun est 3 :

6x + 15 = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 3(2x + 5)

Factoriser x² − 7x

$x^2 = x \times x$ et $7x = 7 \times x$ . Le facteur commun est $x$ :

x^2 - 7x = x(x - 7)

Un facteur commun entre parenthèses

Dans $(x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x - 5)$ , le facteur commun est toute la parenthèse $(x + 1)$ :

\begin{aligned} (x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x - 5) &= (x + 1)\big[(2x + 3) + (x - 5)\big] \\ &= (x + 1)(3x - 2) \end{aligned}

Vérifier sans effort

Pour contrôler un calcul, remplace $x$ par une valeur simple, par exemple $x = 1$ , dans les deux formes. Pour $(x + 3)(x + 2)$ : $4 \times 3 = 12$ . Pour $x^2 + 5x + 6$ : $1 + 5 + 6 = 12$ . ✔ Si les résultats diffèrent, il y a une erreur.

Les pièges classiques

Un signe « − » devant une parenthèse change tous les signes : $-(x - 3) = -x + 3$ .
On n’oublie pas de terme : $(a + b)(c + d)$ donne quatre produits, pas deux. $(x + 3)(x + 2) \neq x^2 + 6$ !
$x \times x = x^2$ , mais $x + x = 2x$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Le calcul mental : $23 \times 102 = 23 \times (100 + 2) = 2\,300 + 46 = 2\,346$ . Les champions de calcul mental développent sans le dire !
Les prix et les factures : 4 places de cinéma à 9 € plus 4 menus à 6 € coûtent $4 \times 9 + 4 \times 6 = 4 \times (9 + 6) = 60$ €. La forme factorisée, c’est le prix d’un « pack » multiplié par le nombre de personnes.
L’architecture et le bricolage : une terrasse de $(x + 2)$ m sur $(x + 1)$ m autour d’une piscine carrée de côté $x$ . La surface de carrelage à poser est $(x + 2)(x + 1) - x^2 = 3x + 2$ m² : pour une piscine de 4 m, il faut 14 m² de carrelage.
Les tours de magie avec les nombres : « Pense à un nombre, ajoute 3, multiplie par 2, enlève 6, divise par 2 ». On trouve toujours le nombre de départ, car $\frac{2(x + 3) - 6}{2} = \frac{2x}{2} = x$ . Développer permet de prouver le tour.
L’informatique : un ordinateur qui calcule $7x + 7y$ fait 3 opérations, alors que $7(x + y)$ n’en demande que 2. Sur des milliards de calculs (images 3D, jeux vidéo), factoriser fait gagner un temps précieux.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Développe 5(2x − 3).
Développe (x + 4)(x + 1). Quel est le coefficient de x ?
Développe (3x − 2)(x + 5). Quel est le terme constant (sans x) ?
Factorise 12x + 8.
Calcule 47 × 101 de tête, en développant 47 × (100 + 1).
Une piste d’athlétisme entoure un terrain carré de côté x : l’ensemble forme un carré de côté x + 4. Quelle est l’aire de la piste ?