3e 🧮 Algèbre Étape 5 / 11 du parcours

Les identités remarquables

Les identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) expliquées avec des carrés découpés : développer, factoriser et calculer de tête.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Développer et factoriser

Trois égalités à connaître pour calculer vite, comme (a + b)² = a² + 2ab + b².

Calcule $51^2$ de tête ? ${(50 + 1)^2 = 2\,500 + 100 + 1 = {2\,601}}$ . Et ${49 \times 51 = 50^2 - 1^2 = {2\,499}}$ .

Facile, non ? Ce sont les identités remarquables, et quelques carrés découpés suffisent à les comprendre.

Les trois identités

Les identités remarquables

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

\begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 \end{aligned}

Le terme $2ab$ s’appelle le double produit. C’est lui qu’on oublie le plus souvent !

Les voir avec des carrés

Choisis une identité avec les boutons du haut, règle $a$ et $b$ , puis avance avec « Étape suivante ».

Pour $(a + b)^2$ : le grand carré se découpe en un carré $a^2$ , un carré $b^2$ et deux rectangles $ab$ .
Pour $(a - b)^2$ : on retire deux bandes $ab$ au carré $a^2$ … mais le petit coin $b^2$ est retiré deux fois, il faut le rajouter.
Pour $(a + b)(a - b)$ : on enlève $b^2$ au carré $a^2$ , puis on déplace un morceau pour former un rectangle.

D’où viennent-elles ?

Ce ne sont pas des formules magiques : ce sont des développements avec la double distributivité.

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2

Dans le dernier calcul, les termes $-ab$ et $+ab$ s’annulent : c’est pour ça qu’il ne reste que deux termes.

Un peu d’histoire

Ces égalités sont bien plus anciennes que les lettres $a$ et $b$ ! Vers 300 av. J.-C., Euclide énonce dans ses Éléments l’identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ … sans aucune formule : il découpe un grand carré en deux carrés et deux rectangles, exactement comme le widget. Vers 820, à Bagdad, le savant al-Khwarizmi utilise ce même découpage pour résoudre des équations du second degré en « complétant le carré ». Il faudra attendre la fin du XVI^e siècle et François Viète pour écrire ces calculs avec des lettres.

Développer avec les identités

Développer (x + 5)²

On reconnaît $(a + b)^2$ avec $a = x$ et $b = 5$ .

(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25

Développer (3x − 2)²

On reconnaît $(a - b)^2$ avec $a = 3x$ et $b = 2$ . Attention : $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$ .

(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4

Développer (2x + 7)(2x − 7)

C’est $(a + b)(a - b)$ avec $a = 2x$ et $b = 7$ :

(2x + 7)(2x - 7) = (2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49

Factoriser avec les identités

Lues de droite à gauche, les identités permettent de factoriser. La plus utile est la différence de deux carrés.

Factoriser x² − 36

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2$ : c’est une différence de deux carrés, avec $a = x$ et $b = 6$ .

x^2 - 36 = (x + 6)(x - 6)

Factoriser x² + 8x + 16

On repère deux carrés, $x^2$ et $16 = 4^2$ , et on vérifie le double produit : $2 \times x \times 4 = 8x$ . ✔

x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2

Le calcul mental des champions

Trois calculs de tête

$51^2 = (50 + 1)^2 = 2\,500 + 100 + 1 = 2\,601$
$99^2 = (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801$
$49 \times 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2\,500 - 1 = 2\,499$

L’erreur à ne jamais faire

(a + b)^2 \neq a^2 + b^2

Teste avec $a = 3$ et $b = 4$ : $(3 + 4)^2 = 49$ , alors que $3^2 + 4^2 = 25$ . Il manque $2ab = 24$ , les deux rectangles verts de l’animation ! De même, $(a - b)^2 \neq a^2 - b^2$ .

Bien identifier a et b

Dans $(5 - 2x)^2$ , $a = 5$ et $b = 2x$ : on obtient $25 - 20x + 4x^2$ . Écris toujours « $a = \ldots$ , $b = \ldots$ » avant de te lancer.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Agrandir une terrasse : une terrasse carrée de 3 m de côté est agrandie de 1 m en longueur et en largeur. Le carreleur prévoit $(3 + 1)^2 = 9 + 2 \times 3 \times 1 + 1 = 16$ m² : 7 m² de plus, dont 6 m² pour les deux grandes bandes.
Le calcul mental au quotidien : 19 places de concert à 21 € coûtent $19 \times 21 = (20 - 1)(20 + 1) = 400 - 1 = 399$ €. Pratique pour vérifier un ticket sans calculatrice.
Comparer des surfaces : passer d’une tablette carrée de 20 cm à 25 cm de côté ajoute $25^2 - 20^2 = (25 + 20)(25 - 20) = 45 \times 5 = 225$ cm² d’écran, calculés de tête en une seconde.
La sécurité informatique : certains codes secrets reposent sur des nombres difficiles à factoriser. Une vieille méthode de Fermat cherche à écrire un nombre comme $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ : par exemple $899 = 30^2 - 1^2 = 31 \times 29$ .
La physique : l’énergie d’un objet qui roule dépend du carré de sa vitesse. Passer de 50 à 60 km/h ajoute $60^2 - 50^2 = 110 \times 10 = 1\,100$ unités, soit 44 % d’énergie en plus : c’est pour ça qu’un petit excès de vitesse rend un choc bien plus violent.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Développe (x + 3)².
Développe (2x − 5)². Quel est le coefficient de x ?
Factorise x² − 81.
Calcule 102² de tête avec (100 + 2)².
Un magasin vend 38 jeux à 42 € pièce. Calcule le total avec (40 − 2)(40 + 2).
Une pelouse carrée de côté x mètres est entourée d’une allée de 1 m de large. L’ensemble forme un carré de côté x + 2. Quelle est l’aire de l’allée ?