3e 🧮 Algèbre Étape 6 / 11 du parcours

L’équation produit nul

Résoudre une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Méthode, factorisation préalable et exemples.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Résoudre une équation , Développer et factoriser , Les identités remarquables

Si un produit vaut zéro, alors l’un de ses facteurs vaut zéro.

Un ballon lancé vers le haut est à ${t(8 - 5t)}$ mètres au-dessus de la main, après ${t}$ secondes. Quand y revient-il ?

On résout ${t(8 - 5t) = 0}$ , un produit égal à zéro : soit ${t = 0}$ (le départ), soit ${8 - 5t = 0}$ , donc ${t = 1{,}6}$ s.

La propriété clé

Si je multiplie deux nombres et que je trouve 0, que peut-on dire de ces nombres ? Essaie : $3 \times 5$ , $(-2) \times 7$ , $0{,}001 \times 1\,000$ … jamais 0. Pour obtenir 0, il faut qu’un des deux nombres soit 0.

Produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ou}\ B = 0

« Si et seulement si » veut dire que ça marche dans les deux sens : si un facteur est nul, le produit est nul ; et si le produit est nul, alors un facteur est nul.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Le sens « si un facteur est nul, le produit est nul » est connu : $0 \times B = 0$ . Pour l’autre sens, suppose que $A \times B = 0$ et que $A$ n’est pas nul. Alors on peut diviser par $A$ :

B = \frac{A \times B}{A} = \frac{0}{A} = 0

Donc si $A$ n’est pas nul, c’est forcément $B$ qui l’est : dans tous les cas, l’un au moins des deux facteurs est nul.

La chasse aux zéros

L’équation est écrite en haut. Déplace le curseur $x$ : les barres montrent la valeur de chaque facteur, la courbe verte montre la valeur du produit. Quand le produit vaut-il 0 ? Regarde bien ce que vaut alors l’un des facteurs. Le bouton « Balayer » essaie toutes les valeurs une par une, et « Autre équation » change de défi.

Tu l’as constaté : la courbe ne touche l’axe que lorsque l’une des barres disparaît. Pour trouver les solutions, il suffit donc de résoudre deux petites équations du premier degré.

Un peu d’histoire

Tout ramener à « … = 0 » puis factoriser nous paraît naturel, mais l’idée n’a pas toujours existé. On l’attribue en grande partie à l’Anglais Thomas Harriot (vers 1560-1621), astronome et mathématicien, qui écrivait les équations sous forme de produits de facteurs pour en lire directement les solutions. Son livre n’a été publié qu’en 1631, dix ans après sa mort. Harriot est aussi celui à qui l’on doit les signes $<$ et $>$ … et il a dessiné la Lune observée à la lunette dès l’été 1609, quelques mois avant Galilée !

La méthode

Résoudre (x − 2)(x + 3) = 0

C’est un produit nul : un des facteurs est nul.
$x - 2 = 0$ ou $x + 3 = 0$
$x = 2$ ou $x = -3$
L’équation a deux solutions : $2$ et $-3$ .

Vérification : $(2 - 2)(2 + 3) = 0 \times 5 = 0$ ✔ et $(-3 - 2)(-3 + 3) = -5 \times 0 = 0$ ✔

Le ballon de basket : t(8 − 5t) = 0

$t = 0$ : c’est l’instant du lancer.
$8 - 5t = 0$ , donc $5t = 8$ et $t = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$ .

Le ballon repasse à la hauteur de la main au bout de 1,6 seconde.

Factoriser d’abord

Souvent, l’équation n’est pas encore un produit. On fait tout passer du même côté pour avoir « … = 0 », puis on factorise.

Résoudre x² = 6x

On ramène tout à gauche : $x^2 - 6x = 0$ .
On factorise par $x$ : $x(x - 6) = 0$ .
Produit nul : $x = 0$ ou $x - 6 = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 6$ .

Résoudre 4x² − 25 = 0

On reconnaît une différence de deux carrés : $(2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$ .

(2x + 5)(2x - 5) = 0 \iff 2x + 5 = 0 \ \text{ou}\ 2x - 5 = 0 \iff x = -\frac{5}{2} \ \text{ou}\ x = \frac{5}{2}

Les équations x² = a

Si $a > 0$ , l’équation $x^2 = a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ (car $x^2 - a = (x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})$ ).
Si $a = 0$ , une seule solution : $0$ .
Si $a < 0$ , aucune solution : un carré n’est jamais négatif.

Les pièges

Ne divise pas par x ! Dans $x^2 = 6x$ , diviser par $x$ donne $x = 6$ … et on perd la solution $x = 0$ .
La propriété ne marche qu’avec 0. Si $(x - 1)(x + 2) = 10$ , on ne peut pas dire « $x - 1 = 10$ ou $x + 2 = 10$ ». Il faut d’abord se ramener à un produit égal à 0.
Écris bien « ou » entre les deux équations : $x$ ne peut pas valoir 2 et −3 en même temps.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Le sport : la hauteur d’un ballon de foot tiré du sol est $h = t(15 - 5t)$ mètres. Il retombe quand $h = 0$ , soit $t = 0$ ou $t = 3$ : le ballon reste 3 secondes en l’air.
Le commerce : une entreprise qui vend $q$ objets fait un bénéfice $B = q(40 - q)$ euros (au-delà de 40, elle doit trop baisser ses prix). Le bénéfice est nul pour $q = 0$ ou $q = 40$ : entre les deux, elle gagne de l’argent.
L’architecture : une arche de pont suit la courbe $y = 0{,}1x(60 - x)$ (en mètres). Elle touche le sol en $x = 0$ et $x = 60$ : le pont a une portée de 60 m.
La géométrie et le bricolage : un cadre carré de côté $x$ cm a la même aire que périmètre (en nombre) quand $x^2 = 4x$ , soit $x(x - 4) = 0$ : un carré de 4 cm de côté (aire 16 cm², périmètre 16 cm).
L’informatique et les jeux vidéo : pour savoir quand un projectile touche le sol, un moteur de jeu résout des équations de ce type des milliers de fois par seconde.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelles sont les solutions de (x − 7)(x + 1) = 0 ?
Résous (2x − 9)(x + 4) = 0. Donne la solution positive.
Combien de solutions l’équation x² = 49 a-t-elle ?
Pour résoudre x² = 5x, quelle est la bonne première étape ?
Une balle est lancée depuis le sol ; sa hauteur est h = t(20 − 5t) mètres. Au bout de combien de secondes retombe-t-elle ?
Un jardin rectangulaire a une longueur de x + 3 mètres et une largeur de x mètres. Son aire vaut x(x + 3). Pour quelles valeurs de x l’aire est-elle nulle ?