3e 🧮 Algèbre Étape 7 / 11 du parcours

Les inéquations

Résoudre une inéquation du premier degré pas à pas : les règles, le changement de sens avec un nombre négatif et les solutions sur une droite graduée.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Résoudre une équation , Multiplier des nombres relatifs

Une inéquation a souvent une infinité de solutions, pas une seule.

Ton forfait coûte 8 € par mois, plus 2 € par giga supplémentaire, et tes parents fixent une limite de 20 €.

On cherche toutes les valeurs de $x$ telles que $8 + 2x \leq 20$ . Réponse : $x \leq 6$ , donc au plus 6 gigas.

Le vocabulaire

Définition

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue, avec l’un des symboles :

$<$ « strictement inférieur à » et $>$ « strictement supérieur à » ;
$\leq$ « inférieur ou égal à » et $\geq$ « supérieur ou égal à ».

Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’inégalité vraie. Résoudre l’inéquation, c’est trouver toutes les solutions.

Tester des valeurs

Est-ce que 5 est solution de $8 + 2x \leq 20$ ? $8 + 2 \times 5 = 18$ et $18 \leq 20$ : oui.

Est-ce que 7 est solution ? $8 + 2 \times 7 = 22$ et $22 > 20$ : non.

Et 6 ? $8 + 12 = 20$ et $20 \leq 20$ : oui, grâce au « ou égal ».

Une inéquation a en général une infinité de solutions. Impossible de toutes les tester : il faut une méthode.

Un peu d’histoire

Les signes $<$ et $>$ n’ont pas toujours existé. On les attribue à l’Anglais Thomas Harriot, astronome et mathématicien : ils apparaissent dans son livre d’algèbre publié en 1631, dix ans après sa mort. Les symboles $\leq$ et $\geq$ arrivent un siècle plus tard, en 1734, sous la plume du Français Pierre Bouguer. Avant cela, il fallait écrire en toutes lettres « est plus grand que »… Pas très pratique pour résoudre une inéquation !

Les règles du jeu

Comme pour une équation, on transforme l’inéquation pour isoler $x$ . Mais il y a une différence très importante.

Règles de calcul sur les inégalités

On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres : le sens de l’inégalité ne change pas.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre positif : le sens ne change pas.
Si on multiplie ou divise par un même nombre négatif, le sens de l’inégalité change : $<$ devient $>$ , $\leq$ devient $\geq$ , et inversement.

Pourquoi ce changement de sens ? Regarde : $2 < 5$ . Multiplions par $-1$ : on obtient $-2$ et $-5$ . Or sur la droite graduée, $-2$ est à droite de $-5$ : $-2 > -5$ . Multiplier par un négatif fait un « demi-tour » autour de zéro, qui inverse l’ordre.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Voici la preuve pour la multiplication. On suppose $a < b$ , c’est-à-dire $b - a > 0$ .

Si $k > 0$ : $kb - ka = k(b - a)$ est le produit de deux nombres positifs, donc $kb - ka > 0$ , soit $ka < kb$ . Le sens est conservé.
Si $k < 0$ : $k(b - a)$ est le produit d’un nombre négatif par un nombre positif, donc $kb - ka < 0$ , soit $ka > kb$ . Le sens est inversé !

Pour diviser par $k$ , il suffit de multiplier par $\frac{1}{k}$ , qui a le même signe que $k$ .

Résoudre et représenter

Règle $a$ , $b$ et $c$ pour fabriquer l’inéquation $ax + b < c$ ; le bouton « Signe » change le symbole. Les étapes de résolution s’affichent, et la zone verte de la droite graduée montre toutes les solutions. Choisis un $a$ négatif et observe l’étape de division ! Déplace aussi le point « test » pour vérifier que les points verts sont bien des solutions.

Le crochet sur la droite graduée

Si la borne fait partie des solutions ( $\leq$ ou $\geq$ ), le crochet est tourné vers les solutions.
Si la borne n’en fait pas partie ( $<$ ou $>$ ), le crochet est tourné vers l’extérieur.

Exemples résolus pas à pas

Le forfait : 8 + 2x ≤ 20

On soustrait 8 des deux côtés : $2x \leq 12$ .
On divise par 2, qui est positif : le sens ne change pas. $x \leq 6$ .
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 6. Tu peux prendre au plus 6 gigas supplémentaires.

Avec un nombre négatif : 5 − 3x > 11

On soustrait 5 : $-3x > 6$ .
On divise par $-3$ , qui est négatif : le sens change ! $x < \dfrac{6}{-3}$ , soit $x < -2$ .
Vérification avec $x = -3$ (qui devrait marcher) : $5 - 3 \times (-3) = 14$ et $14 > 11$ . ✔

x des deux côtés : 7x − 4 ≥ 3x + 10

On soustrait $3x$ : $4x - 4 \geq 10$ .
On ajoute 4 : $4x \geq 14$ .
On divise par 4 (positif) : $x \geq \dfrac{14}{4}$ , soit $x \geq 3{,}5$ .

Pour aller plus loin : les intervalles

Au lycée, on écrit l’ensemble des solutions avec des intervalles. Les solutions de $x \leq 6$ forment l’intervalle $]-\infty\,;\,6]$ , celles de $x < -2$ l’intervalle $]-\infty\,;\,-2[$ . Le crochet suit la même règle que sur la droite graduée.

Les pièges

Oublier de changer le sens en divisant par un nombre négatif : c’est l’erreur n° 1 !
Changer le sens alors qu’on ajoute un nombre, même négatif : $x + (-5) < 2$ donne $x < 7$ , sans changement de sens.
Confondre $<$ et $\leq$ : « au plus », « au maximum », « ne pas dépasser » se traduisent par $\leq$ ; « moins de » par $<$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Gérer un budget : avec 50 € de carte cadeau et des livres à 7 €, tu dois avoir $7x \leq 50$ , donc $x \leq 7{,}14$ : tu peux acheter 7 livres au maximum.
Choisir un abonnement : la salle de sport A coûte 10 € par séance ; la salle B, 60 € d’inscription puis 4 € par séance. B est plus avantageuse quand $60 + 4x < 10x$ , soit $x > 10$ : à partir de 11 séances.
Atteindre une moyenne : tu as 9 et 11 sur 20 ; il reste un contrôle. Pour avoir au moins 12 de moyenne : $\frac{9 + 11 + x}{3} \geq 12$ , soit $x \geq 16$ . Il te faut au moins 16/20.
La sécurité routière : un camion de 7,5 t peut passer sur un pont limité à 12 t si sa charge $x$ vérifie $7{,}5 + x \leq 12$ , soit $x \leq 4{,}5$ t.
Préparer un voyage : un bagage cabine ne doit pas dépasser 10 kg. Ta valise vide pèse 2,6 kg et tu emportes des affaires de 0,4 kg chacune : $2{,}6 + 0{,}4x \leq 10$ donne $x \leq 18{,}5$ , soit 18 affaires au plus.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Le nombre −2 est-il solution de 3x + 4 > 0 ?
Résous 2x − 3 ≤ 9. Quelle est la plus grande solution ?
Que donne −4x < 12 ?
Sur une droite graduée, les solutions de x > 1 sont représentées par :
Un taxi facture 4 € de prise en charge et 1,50 € par km. Avec 25 €, combien de km entiers peux-tu parcourir au maximum ?
Une piscine propose une entrée à 5 €, ou un abonnement annuel de 40 € avec l’entrée à 3 €. À partir de combien d’entrées l’abonnement est-il strictement plus avantageux ?