5e 🧮 Algèbre Étape 1 / 11 du parcours

Le calcul littéral

Le calcul littéral expliqué simplement : expressions avec des lettres, substitution, réduire une expression et distributivité avec des rectangles.

En calcul littéral, une lettre remplace un nombre qui peut changer.

Au cinéma, la place coûte 7 €. Pour 2 places, tu paies 14 €. Pour 5 places, 35 €.

Plutôt qu’un calcul par cas, une seule formule : prix = 7 × n, où $n$ est le nombre de places. C’est ça, le calcul littéral !

Des lettres à la place des nombres

Définition

Une expression littérale est une expression dans laquelle des nombres sont représentés par des lettres. Une lettre peut prendre différentes valeurs : on l’appelle une variable.

Tu connais déjà des expressions littérales : le périmètre d’un carré de côté $c$ est $4 \times c$ , l’aire d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ est $L \times \ell$ .

Le signe × peut disparaître

Pour alléger l’écriture, on peut supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse :

$4 \times c$ s’écrit $4c$ ;
$a \times b$ s’écrit $ab$ ;
$3 \times (x + 2)$ s’écrit $3(x + 2)$ .

On écrit aussi $x \times x = x^2$ (« $x$ au carré ») et $1x = x$ .

Attention

On ne supprime jamais le signe × entre deux nombres : $3 \times 5$ ne s’écrit pas $35$ !

Un peu d’histoire

Écrire des lettres à la place des nombres, c’est une idée plutôt récente. Vers 1591, le Français François Viète, conseiller du roi Henri IV, a l’idée de noter les nombres inconnus par des voyelles et les nombres connus par des consonnes. Viète était aussi un as des codes secrets : il déchiffra des lettres codées de l’armée espagnole. On raconte que le roi d’Espagne Philippe II, persuadé que son code était incassable, se plaignit au pape que les Français utilisaient la sorcellerie ! En 1637, René Descartes choisit $x$ , $y$ et $z$ pour les inconnues : c’est sa notation que tu utilises aujourd’hui.

Calculer la valeur d’une expression

Quand on connaît la valeur de la lettre, on peut remplacer la lettre par cette valeur et calculer. On dit qu’on substitue la valeur.

La salle d’escalade

Une salle d’escalade fait payer 5 € d’inscription, plus 3 € par séance. Pour $x$ séances, le prix est $A = 3x + 5$ . Combien paie-t-on pour 4 séances ? On calcule $A$ pour $x = 4$ .

On remet le signe × : $A = 3 \times x + 5$ .
On remplace $x$ par 4 : $A = 3 \times 4 + 5$ .
On calcule, multiplication d’abord : $A = 12 + 5 = 17$ . Les 4 séances coûtent 17 €.

Calculer B = 2x² − x pour x = 3

$B = 2 \times 3^2 - 3 = 2 \times 9 - 3 = 18 - 3 = 15$ .

Attention : on calcule d’abord le carré ( $3^2 = 9$ ), puis on multiplie par 2.

Réduire une expression

Imagine un sac avec 3 pommes, puis tu ajoutes 5 pommes : tu as 8 pommes. C’est pareil avec les lettres : $3x + 5x = 8x$ .

Réduire

Réduire une expression, c’est l’écrire avec le moins de termes possible, en regroupant les termes de même nature :

les termes en $x$ ensemble : $7x - 2x = 5x$ ;
les termes en $x^2$ ensemble : $x^2 + 4x^2 = 5x^2$ ;
les nombres seuls ensemble.

Réduire C = 4x + 3 + 2x − 1

On regroupe : $C = (4x + 2x) + (3 - 1) = 6x + 2$ .

Attention

On ne peut pas additionner des termes de natures différentes : $3x + 2$ ne fait pas $5x$ , et $x^2 + x$ ne fait pas $2x^2$ . Des pommes et des poires, ça ne s’ajoute pas !

La distributivité

Voici un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a + b$ . On peut calculer son aire de deux façons :

d’un seul coup : $k \times (a + b)$ ;
en le coupant en deux rectangles : $k \times a + k \times b$ .

C’est le même rectangle, donc les deux résultats sont égaux ! Change les valeurs avec les curseurs, puis clique sur ▶ pour séparer les deux morceaux.

La distributivité simple

Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

k(a + b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a - b) = ka - kb

On dit que la multiplication se distribue sur l’addition et la soustraction.

Développer

Développer, c’est transformer un produit en somme.

$5(x + 3) = 5 \times x + 5 \times 3 = 5x + 15$
$2(4x - 1) = 2 \times 4x - 2 \times 1 = 8x - 2$

Factoriser

Factoriser, c’est le chemin inverse : transformer une somme en produit en repérant le facteur commun.

$6x + 6 \times 7 = 6(x + 7)$
$3x + 12 = 3 \times x + 3 \times 4 = 3(x + 4)$

Calcul mental malin

La distributivité aide à calculer de tête : $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ . Et $9 \times 48 = 9 \times (50 - 2) = 450 - 18 = 432$ .

Attention

Il faut multiplier chaque terme de la parenthèse : $4(x + 2)$ fait $4x + 8$ , et pas $4x + 2$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Dans un tableur : quand tu tapes « =3*A2+5 » dans une feuille de calcul, c’est une expression littérale ! La case A2 joue le rôle de $x$ , et le tableur calcule le résultat pour chaque ligne.
Pour comparer des forfaits : un forfait de téléphone coûte $10 + 0{,}5n$ euros pour $n$ Go utilisés. Pour 8 Go, tu paies $10 + 0{,}5 \times 8 = 14$ €.
Pour programmer un jeu vidéo : le score d’un joueur peut valoir $100p + 50e$ , où $p$ est le nombre de pièces et $e$ le nombre d’ennemis battus. Avec 12 pièces et 4 ennemis : $1\,200 + 200 = 1\,400$ points.
En physique : la distance parcourue à vitesse constante est $d = v \times t$ . Un TGV à 300 km/h parcourt en 2 h une distance de $300 \times 2 = 600$ km.
Pour clôturer un jardin : un terrain rectangulaire de longueur $L$ et de largeur 10 m a pour périmètre $2(L + 10) = 2L + 20$ . Pour $L = 25$ m, il faut 70 m de grillage.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Comment s’écrit 5 × a × b sans signe × ?
Un taxi facture 7 € de prise en charge plus 2 € par kilomètre : le prix est 2x + 7 pour x km. Combien coûte une course de 6 km (en €) ?
Calcule x² + 1 pour x = 5.
Quelle est la forme réduite de 6x + 2 − 4x + 5 ?
Développe 3(x + 4).
Un collège achète 6 tablettes à 101 € chacune. Grâce à la distributivité, calcule le prix total (en €).

Des lettres à la place des nombres

Calculer la valeur d’une expression

Réduire une expression

La distributivité

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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