3e 📐 Géométrie Étape 21 / 27 du parcours

Les triangles semblables

Triangles semblables : mêmes angles et longueurs proportionnelles. Reconnaître deux triangles semblables et calculer une longueur avec le rapport k.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : La somme des angles d’un triangle , Le théorème de Thalès , Agrandissement et réduction

Triangles semblables : mêmes angles, donc même forme, mais autre taille.

Quand tu zoomes sur une photo, tout grossit, mais rien ne se déforme. Les triangles de côtés 3, 4, 5 cm et 6, 8, 10 cm ont la même forme : tout est multiplié par 2.

Pour prouver que deux triangles sont semblables, un petit indice suffit : deux angles égaux.

4358610même forme, × 2

Même forme, autre taille

Triangles semblables

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux égaux.

Les sommets qui portent les angles égaux sont dits homologues, ainsi que les côtés qui les relient. Les côtés homologues sont en face d’angles égaux.

Dans le widget, change le rapport kk, tourne et retourne le triangle A′B′C′A'B'C'. Les angles colorés ne bougent pas, et les trois quotients de longueurs restent égaux à kk. Puis appuie sur « Tricher » : on déplace juste un sommet… et tout s’écroule.

Même forme, autre taille

Les deux visages des triangles semblables
  • Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés homologues sont proportionnelles :
A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC=k\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = k
  • Réciproquement, si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.

Le nombre kk s’appelle le rapport de similitude : c’est un agrandissement si k>1k > 1, une réduction si k<1k < 1.

Deux angles suffisent !

Pour prouver que deux triangles sont semblables, il suffit de trouver deux paires d’angles égaux. Le troisième angle suit tout seul, puisque dans chaque triangle les angles font 180°.

Pourquoi des angles égaux entraînent-ils des longueurs proportionnelles ?— facultatif, à sauter en première lecture

Prenons deux triangles ABCABC et A′B′C′A'B'C' avec les mêmes angles, et supposons A′B′C′A'B'C' plus petit. On « glisse » A′B′C′A'B'C' dans ABCABC en plaçant A′A' sur AA, B′B' sur la demi-droite [AB)[AB) et C′C' sur la demi-droite [AC)[AC) : c’est possible car les angles en AA et A′A' sont égaux.

Les angles en B′B' et en BB sont égaux et en position de correspondants : les droites (B′C′)(B'C') et (BC)(BC) sont donc parallèles. On est exactement dans la configuration du théorème de Thalès :

AB′AB=AC′AC=B′C′BC\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}

Et voilà nos trois rapports égaux ! Les triangles semblables sont en fait le cœur caché du théorème de Thalès.

Exemples résolus

La hauteur de l’arbre, sans grimper

À la même heure, un bâton vertical de 1,5 m projette une ombre de 2 m, et un arbre projette une ombre de 14 m. Quelle est la hauteur de l’arbre ?

  1. Les rayons du soleil sont parallèles : ils font le même angle avec le sol pour le bâton et pour l’arbre. Les deux sont verticaux : angle droit avec le sol. Deux angles égaux : les deux triangles « objet, ombre, rayon » sont semblables.
  2. Rapport : k=ombre de l’arbreombre du baˆton=142=7k = \dfrac{\text{ombre de l’arbre}}{\text{ombre du bâton}} = \dfrac{14}{2} = 7.
  3. Hauteur de l’arbre : 1,5×7=10,51{,}5 \times 7 = 10{,}5 m.
Côtés proportionnels ?

Un triangle a des côtés de 4 cm, 6 cm et 7 cm. Un autre a des côtés de 10 cm, 15 cm et 17,5 cm. Sont-ils semblables ?

On range les côtés dans l’ordre et on calcule les quotients : 104=2,5\dfrac{10}{4} = 2{,}5 ; 156=2,5\dfrac{15}{6} = 2{,}5 ; 17,57=2,5\dfrac{17{,}5}{7} = 2{,}5.

Les trois quotients sont égaux : les longueurs sont proportionnelles, les triangles sont semblables, avec k=2,5k = 2{,}5.

Les pièges
  • On compare les côtés homologues, ceux qui sont en face des angles égaux. Le plus simple : ranger les côtés du plus petit au plus grand dans chaque triangle.
  • Deux triangles semblables ne sont pas forcément « dans le même sens » : l’un peut être tourné ou retourné (essaie « Retourner » dans le widget).
  • Les aires ne sont pas multipliées par kk mais par k2k^2 : un triangle agrandi 3 fois a une aire 9 fois plus grande.
Thalès et la grande pyramide

Une légende rapportée par des auteurs grecs plusieurs siècles plus tard raconte que Thalès de Milet, en voyage en Égypte vers 600 av. J.-C., aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide de Khéops… sans l’escalader. Il aurait planté son bâton dans le sable et attendu le moment où l’ombre du bâton était exactement aussi longue que le bâton. À cet instant précis, l’ombre de la pyramide (mesurée depuis son centre) devait elle aussi être égale à sa hauteur ! Vraie ou embellie, l’histoire montre la puissance de l’idée : des triangles semblables permettent de mesurer ce qu’on ne peut pas toucher.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Pour mesurer l’inaccessible : la hauteur d’un immeuble, d’un arbre ou d’une falaise se calcule avec les ombres. Un bâton de 1 m qui fait 1,6 m d’ombre et un immeuble qui en fait 48 m : l’immeuble mesure 48÷1,6=3048 \div 1{,}6 = 30 m.
  • En photo : dans un appareil, l’objet et son image sur le capteur forment deux triangles semblables. Une personne de 1,80 m à 6 m de l’objectif, avec un capteur à 5 cm, donne une image de 180×5600=1,5180 \times \dfrac{5}{600} = 1{,}5 cm.
  • Avec les maquettes : une maquette d’avion au 1/72 est semblable au vrai. Une aile de 36 m devient 3 600÷72=503\,600 \div 72 = 50 cm.
  • Au cinéma : l’image projetée et l’image dans le projecteur forment des triangles semblables avec la lampe. Si l’écran est deux fois plus loin, chaque dimension de l’image est multipliée par 2 : à 5 m on obtient 2 m de large, à 10 m on obtient 4 m.
  • En randonnée : pour estimer la largeur d’une rivière sans la traverser, on aligne des repères sur la berge pour former deux triangles semblables. Si le petit triangle a des côtés de 3 m et 2 m, et que dans le grand le côté homologue à celui de 3 m mesure 18 m, le rapport vaut 6 : la largeur de la rivière, homologue au côté de 2 m, vaut environ 2×6=122 \times 6 = 12 m.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Deux triangles ont des angles de 50°, 60°, 70° pour l’un et 50°, 70°, 60° pour l’autre. Sont-ils semblables ?

  2. Deux triangles ont deux angles de 40° et 85°. Combien mesure le troisième angle de chacun (en degrés) ?

  3. Un triangle a des côtés 3, 4, 5. Un triangle semblable a pour plus petit côté 7,5. Quel est son plus grand côté ?

  4. Les côtés 2 ; 3 ; 4 et 4 ; 6 ; 9 forment-ils des triangles semblables ?

  5. Un poteau de 2 m fait une ombre de 3 m. Au même moment, un clocher fait une ombre de 45 m. Quelle est sa hauteur (en m) ?

  6. Une voile triangulaire de bateau miniature est semblable à la vraie, avec k = 1/20. La vraie voile a une base de 3 m. Quelle est la base de la miniature (en cm) ?

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