3e 📐 Géométrie Étape 20 / 27 du parcours

Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès expliqué simplement : droites parallèles, rapports égaux, configuration papillon et calculs de longueurs pas à pas.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le théorème de Pythagore

Deux triangles de même forme ont des côtés proportionnels.

On raconte que Thalès a mesuré une pyramide grâce à son ombre. Un bâton de 1 m fait une ombre de 1,5 m : l’ombre est 1,5 fois plus longue que l’objet.

L’ombre de la pyramide, comptée depuis son centre, mesure 219 m. Même forme, donc hauteur = 219 ÷ 1,5 = 146 m !

La configuration de Thalès

Pour utiliser le théorème, il faut repérer une figure bien précise.

Configuration de Thalès

On a deux droites sécantes en A. Sur l’une, on place les points $B$ et $M$ ; sur l’autre, les points $C$ et $N$ . Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, on est dans une configuration de Thalès.

Il existe deux dessins possibles :

la configuration « triangle emboîté » : $M$ est sur le segment $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ . Le petit triangle $AMN$ est à l’intérieur du grand triangle $ABC$ ;
la configuration « papillon » : $M$ et $N$ sont de l’autre côté du point $A$ . Les deux triangles $AMN$ et $ABC$ se touchent par le sommet $A$ , comme les deux ailes d’un papillon.

Un peu d’histoire

Thalès de Milet vivait vers 600 av. J.-C. dans une cité grecque de l’actuelle Turquie. On le considère comme l’un des premiers savants à avoir voulu démontrer les propriétés des figures, et pas seulement les constater. L’historien Hérodote raconte même qu’il aurait prédit une éclipse de Soleil, celle de 585 av. J.-C., qui interrompit une bataille ! Curiosité : ce sont surtout les Français qui donnent son nom à ce théorème. En Allemagne, on parle du « théorème des rayons », et en Angleterre, le « théorème de Thalès » désigne… une autre propriété, celle du triangle inscrit dans un demi-cercle.

Manipule la figure

Fais glisser le point M (ou utilise le curseur). La droite $(MN)$ reste toujours parallèle à $(BC)$ . Regarde les trois rapports en dessous : ils changent quand tu bouges $M$ … mais ils restent toujours égaux entre eux. Appuie ensuite sur « Configuration papillon » : ça marche encore !

Le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$ : toutes ses longueurs sont multipliées par le même nombre. Ce nombre, c’est justement le rapport affiché par le widget.

Le théorème

Théorème de Thalès

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ . Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

Pour bien écrire les rapports, retiens cette astuce : en haut, on met les côtés du petit triangle $AMN$ ; en bas, les côtés correspondants du grand triangle $ABC$ . Le premier rapport parle de la droite $(AB)$ , le deuxième de la droite $(AC)$ , le troisième des côtés parallèles.

Trois colonnes

Tu peux ranger les longueurs dans un tableau, comme pour la proportionnalité :

Petit triangle	$AM$	$AN$	$MN$
Grand triangle	$AB$	$AC$	$BC$

C’est un tableau de proportionnalité : on passe de la ligne du haut à celle du bas en multipliant toujours par le même nombre.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Voici l’idée d’Euclide, avec des aires (cas des triangles emboîtés). On note $\mathcal{A}$ l’aire d’un triangle.

Les triangles $AMN$ et $ABN$ ont la même hauteur issue de $N$ , et leurs bases sont $AM$ et $AB$ : $\dfrac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABN)} = \dfrac{AM}{AB}$ .
De même, $AMN$ et $ACM$ ont la même hauteur issue de $M$ : $\dfrac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ACM)} = \dfrac{AN}{AC}$ .
Les triangles $MNB$ et $MNC$ ont la même base $[MN]$ et la même hauteur, car $B$ et $C$ sont sur une droite parallèle à $(MN)$ : ils ont la même aire. Donc $\mathcal{A}(ABN) = \mathcal{A}(AMN) + \mathcal{A}(MNB) = \mathcal{A}(AMN) + \mathcal{A}(MNC) = \mathcal{A}(ACM)$ .

Les fractions des étapes 1 et 2 ont le même numérateur et le même dénominateur : elles sont égales, d’où $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ .

Calculer une longueur

Exemple 1 : la charpente du toit (triangles emboîtés)

Dans la charpente d’un toit, deux chevrons $[AB]$ et $[AC]$ partent du sommet $A$ . La poutre du bas $[BC]$ mesure 8 m. Le charpentier fixe une traverse $[MN]$ parallèle à $[BC]$ , avec $M$ à 3 m de $A$ sur le chevron $[AB]$ de 5 m. Quelle doit être la longueur de la traverse ?

Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés, ainsi que $A$ , $N$ , $C$ . On sait que $(MN) \parallel (BC)$ , avec $AM = 3$ m, $AB = 5$ m et $BC = 8$ m. Calculons $MN$ .

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ , et $(MN) \parallel (BC)$ .
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
On garde les deux rapports utiles : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{MN}{8}$
Produit en croix : $MN = \dfrac{3 \times 8}{5} = \dfrac{24}{5} = 4{,}8$ m. La traverse mesure 4,8 m.

Exemple 2 : configuration papillon

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$ , avec $(MN) \parallel (BC)$ . On connaît $AM = 2$ cm, $AB = 6$ cm et $AC = 7{,}5$ cm. Calculons $AN$ .

D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$
$\dfrac{2}{6} = \dfrac{AN}{7{,}5}$
$AN = \dfrac{2 \times 7{,}5}{6} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5$ cm.

Dans les deux cas, la méthode est la même : on écrit l’égalité des trois rapports, on remplace par les longueurs connues, puis on garde un seul rapport complet et le rapport qui contient l’inconnue.

Retour à la pyramide

Un bâton de 1 m planté verticalement fait une ombre de 1,6 m. Au même moment, l’ombre d’un arbre mesure 12 m. Les rayons du soleil sont parallèles : on a donc une configuration de Thalès ! La hauteur $h$ de l’arbre vérifie :

\frac{h}{1} = \frac{12}{1{,}6} \quad \text{donc} \quad h = 7{,}5 \text{ m}.

Les pièges à éviter

Attention

Pas de parallèles, pas de Thalès ! Vérifie toujours que l’énoncé dit que les droites sont parallèles avant d’écrire les rapports.
Ne mélange pas les côtés : $\dfrac{AM}{MB}$ n’est pas un rapport de Thalès. On compare toujours une longueur du petit triangle à la longueur entière correspondante du grand triangle, en partant de $A$ .
Dans la configuration papillon, $AB$ ne se calcule pas en ajoutant $AM$ : les points $M$ et $B$ sont de part et d’autre de $A$ .

Le théorème de Thalès a aussi une réciproque, très utile pour démontrer que deux droites sont parallèles : si les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ sont égaux et que les points sont alignés dans le même ordre, alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour mesurer un arbre ou un immeuble : un bâton de 1 m fait une ombre de 1,6 m, et l’ombre de l’immeuble mesure 40 m. L’immeuble mesure donc $40 \div 1{,}6 = 25$ m, sans monter dessus !
En photographie : dans un appareil photo, l’objet, la lentille et l’image forment une configuration papillon. Un arbre de 10 m à 50 m de l’objectif donne, sur un capteur placé à 5 cm derrière, une image de $10 \times 0{,}05 \div 50 = 0{,}01$ m, soit 1 cm.
Pour les cartes et les plans : agrandir un plan au double, c’est appliquer un rapport de Thalès de 2 : un mur de 4 cm sur le plan passe à 8 cm.
Pour estimer une distance : bras tendu à 60 cm de tes yeux, ton pouce (2 cm) cache exactement une voiture de 4 m. Elle est donc à environ $4 \times 60 \div 2 = 120$ m.
En bricolage : pour poser des étagères parallèles dans un meuble en forme de triangle, le menuisier calcule la longueur de chaque planche avec les rapports de Thalès.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle condition est indispensable pour appliquer le théorème de Thalès ?
(MN) // (BC), M sur [AB], N sur [AC]. Quelle égalité est juste ?
Un escabeau a deux montants de 10 dm qui partent du sommet A ; au sol, leurs pieds B et C sont écartés de 15 dm. Une barre de sécurité [MN], parallèle au sol, est fixée à 4 dm du sommet (AM = 4 dm). Combien mesure la barre (en dm) ?
AM = 3 cm, AB = 9 cm, AC = 12 cm et (MN) // (BC). Combien mesure AN (en cm) ?
Dans la configuration « papillon », où se trouvent M et N par rapport à A ?
Un bâton de 2 m a une ombre de 3 m. Au même moment, l’ombre d’un immeuble mesure 24 m. Quelle est la hauteur de l’immeuble (en m) ?