1re 📐 Géométrie Étape 27 / 27 du parcours

Le produit scalaire

Le produit scalaire en 1re : définition avec le cosinus, projection orthogonale, calcul avec les coordonnées et test d’orthogonalité de deux vecteurs.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les vecteurs , Trigonométrie : cosinus, sinus et tangente , Équations de droites

Le produit scalaire mesure la part utile d’un vecteur dans la direction d’un autre.

Tu tires ta valise avec une force de 50 N, poignée inclinée à 60°. Seule la part horizontale la fait avancer : $50 \times \cos 60° = 25$ N.

Le produit scalaire calcule cette « part utile ». Son résultat n’est pas un vecteur, mais un nombre (un « scalaire »).

Définition avec le cosinus

Définition

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, et $\theta$ l’angle qu’ils forment. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta

Si l’un des deux vecteurs est nul, on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Un peu d’histoire

Le mot « scalaire » a été inventé par l’Irlandais William Rowan Hamilton. Le 16 octobre 1843, en se promenant le long d’un canal de Dublin, il trouve enfin comment multiplier ses « quaternions », des nombres à quatre composantes, et grave aussitôt la formule $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ dans la pierre d’un pont ! Le produit de deux quaternions contient une partie « scalaire » (un simple nombre) et une partie « vectorielle ». Vers 1881, l’Américain Josiah Willard Gibbs sépare ces deux morceaux pour en faire des outils plus simples, le produit scalaire et le produit vectoriel, et introduit la notation avec un point : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Le signe du produit scalaire vient du cosinus :

angle aigu ( $\theta < 90^\circ$ ) : $\cos \theta > 0$ , donc $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$ ;
angle droit ( $\theta = 90^\circ$ ) : $\cos \theta = 0$ , donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ;
angle obtus ( $\theta > 90^\circ$ ) : $\cos \theta < 0$ , donc $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$ .

La projection orthogonale

Place les deux vecteurs à partir d’un même point $O$ . Projette l’extrémité de $\vec{v}$ perpendiculairement sur la droite qui porte $\vec{u}$ : tu obtiens le point $H$ . Dans le triangle rectangle, $OH = \|\vec{v}\| \times |\cos\theta|$ . Le produit scalaire mesure donc la longueur de $\vec{u}$ multipliée par l’ombre de $\vec{v}$ sur la direction de $\vec{u}$ .

Produit scalaire et projeté

Si $H$ est le projeté orthogonal de l’extrémité de $\vec{v}$ sur la droite portée par $\vec{u}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times OH$ si $\overrightarrow{OH}$ et $\vec{u}$ ont le même sens ;
$\vec{u} \cdot \vec{v} = -\|\vec{u}\| \times OH$ s’ils sont de sens contraires.

Attrape l’extrémité de $\vec{u}$ (bleu) ou de $\vec{v}$ (gris foncé) et déplace-la, ou appuie sur ▶ pour faire tourner $\vec{v}$ . Le segment $[OH]$ devient vert quand l’angle est aigu, rouge quand il est obtus, violet quand l’angle est droit : le produit scalaire est alors nul.

Le calcul avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, inutile de connaître l’angle : les coordonnées suffisent.

Formule analytique

Si $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ dans un repère orthonormé, alors :

\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'

En particulier, $\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2 = \|\vec{u}\|^2$ .

Orthogonalité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Le produit scalaire se calcule « comme un produit » : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ , $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ .

Exemples résolus

Exemple 1 : le travail d’une force

Tu tires une luge sur 20 m avec une corde qui exerce une force de 50 N, inclinée de 30° par rapport au sol. Le travail de la force est le produit scalaire de la force par le déplacement :

W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = 50 \times 20 \times \cos 30^\circ \approx 866 \text{ J}

Si la corde était horizontale, on aurait $W = 1\,000$ J : l’inclinaison fait « perdre » environ 13 % de l’effort.

Exemple 2 : un angle droit ?

Un géomètre relève trois bornes d’un terrain : $A(1\,;\,2)$ , $B(5\,;\,4)$ et $C(0\,;\,4)$ (en dizaines de mètres). L’angle en $A$ est-il droit ?

$\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;\,2)$ .
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0$ .
Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux, l’angle $\widehat{BAC}$ est droit.

Exemple 3 : calculer un angle

Avec $\vec{u}(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(1\,;\,2)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 2 = 5$ , $\|\vec{u}\| = \sqrt{10}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{5}$ .

Donc $\cos \theta = \dfrac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , et $\theta = 45^\circ$ .

Le théorème d’Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ quelconque, avec $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$ . C’est un « Pythagore généralisé », démontré grâce au produit scalaire. Si l’angle $\widehat{A}$ est droit, $\cos \widehat{A} = 0$ et on retrouve Pythagore.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Démontrons le théorème d’Al-Kashi. Avec la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ . Le carré scalaire d’un vecteur est le carré de sa longueur, donc :

BC^2 = \left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) \cdot \left(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right) = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + AB^2

en développant comme une identité remarquable. Or $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{A} = c\,b \cos \widehat{A}$ . On obtient bien $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \widehat{A}$ .

Les pièges classiques

Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur : écrire $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{w}$ n’a pas de sens.
La formule $xx' + yy'$ n’est valable que dans un repère orthonormé.
Un produit scalaire nul ne veut pas dire qu’un des vecteurs est nul : il peut s’agir de deux vecteurs perpendiculaires.
Pour l’angle, les deux vecteurs doivent partir du même point.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Physique : le travail d’une force se calcule par $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ . Un cheval qui tire une péniche avec une force de 2 000 N à 40° de la berge, sur 1 km, fournit $2\,000 \times 1\,000 \times \cos 40^\circ \approx 1{,}5$ million de joules utiles.
Énergie solaire : la puissance reçue par un panneau est proportionnelle à $\cos \theta$ , où $\theta$ est l’angle entre les rayons et la perpendiculaire au panneau. À 60°, le panneau ne capte plus que la moitié de l’énergie : d’où les panneaux qui suivent le soleil.
Jeux vidéo et 3D : pour éclairer une surface, la carte graphique calcule des millions de produits scalaires par seconde entre la direction de la lumière et la perpendiculaire à chaque facette. Résultat négatif : la facette est dans l’ombre.
Intelligence artificielle : les moteurs de recommandation représentent tes goûts et chaque film par des vecteurs. Plus leur produit scalaire est grand, plus le film a de chances de te plaire.
Bâtiment : pour vérifier qu’un mur est perpendiculaire au sol sur un plan coté, un architecte peut tester si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, sans mesurer d’angle.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien vaut le produit scalaire de u(2 ; 3) et v(4 ; −1) dans un repère orthonormé ?
Si l’angle entre deux vecteurs non nuls est obtus, leur produit scalaire est :
Les vecteurs u(6 ; 4) et v(−2 ; k) sont orthogonaux pour k égal à :
‖u‖ = 4, ‖v‖ = 5 et l’angle entre eux vaut 60°. Combien vaut u · v ?
Un chariot est poussé sur 10 m par une force de 100 N inclinée de 60° par rapport au sol. Quel est le travail de la force (en joules) ?
Une valise est tirée à l’horizontale sur 30 m, avec une force de 40 N exercée verticalement vers le haut (pour la soulever un peu). Quel est le travail de cette force (en J) ?