3e ➗ Arithmétique Étape 7 / 7 du parcours

Le PPCM

Le PPCM de deux nombres : trouver le plus petit multiple commun avec les listes de multiples ou la décomposition, et additionner des fractions.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Multiples et diviseurs , PGCD et fractions irréductibles

Le PPCM, c’est le plus petit multiple commun à deux nombres (hors 0).

Deux phares s’allument, l’un toutes les 6 secondes, l’autre toutes les 8 secondes. À 21 h pile, ils s’allument ensemble.

Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24… Multiples de 8 : 8, 16, 24… Rendez-vous dans 24 secondes : le PPCM de 6 et 8 est 24.

Multiples communs et PPCM

Définition

Un multiple commun à deux nombres entiers $a$ et $b$ est un nombre qui est à la fois un multiple de $a$ et un multiple de $b$ .

Le PPCM de $a$ et $b$ est leur Plus Petit Commun Multiple non nul. On le note $\text{PPCM}(a\,;b)$ .

Pour les phares :

multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … ;
multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48, ….

Les premiers multiples communs sont 24 et 48. Donc $\text{PPCM}(6\,;8) = 24$ : les phares s’allument ensemble toutes les 24 secondes.

Un peu d’histoire

Le PPCM est une très vieille idée : vers 300 av. J.-C., le Grec Euclide explique déjà dans ses Éléments comment trouver « le plus petit nombre mesuré par deux nombres donnés ». Mais la nature s’en sert aussi ! En Amérique du Nord, certaines cigales passent 13 ans ou 17 ans sous terre, puis sortent toutes en même temps. Une famille de 13 ans et une famille de 17 ans ne sortent donc ensemble que tous les $\text{PPCM}(13\,;17) = 221$ ans. C’est arrivé au printemps 2024 dans l’Illinois, pour la première fois depuis 1803 !

Voir les phares clignoter

Les deux droites montrent les « bonds » de chaque phare. Les traits verts marquent les instants où les deux phares s’allument ensemble. Clique sur « Lancer le temps », puis change les durées : que se passe-t-il avec 4 et 6 ? avec 5 et 7 ? avec 3 et 12 ?

Tu as sûrement remarqué :

tous les multiples communs sont des multiples du PPCM (24, 48, 72…) ;
si $b$ est un multiple de $a$ , le PPCM est $b$ : $\text{PPCM}(3\,;12) = 12$ ;
si $a$ et $b$ n’ont pas de diviseur commun (à part 1), le PPCM est leur produit : $\text{PPCM}(5\,;7) = 35$ .

Calculer un PPCM avec la décomposition

Méthode

On décompose les deux nombres en facteurs premiers. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant.

PPCM(18 ; 30)

$18 = 2 \times 3^2$
$30 = 2 \times 3 \times 5$

On prend 2 (exposant 1), 3 (exposant le plus grand : 2) et 5 :

$\text{PPCM}(18\,;30) = 2 \times 3^2 \times 5 = 90$ .

Vérification : $90 = 18 \times 5$ et $90 = 30 \times 3$ . ✔

Le lien avec le PGCD

Pour deux nombres $a$ et $b$ , on a toujours :

\text{PGCD}(a\,;b) \times \text{PPCM}(a\,;b) = a \times b

Avec 18 et 30 : $\text{PGCD} = 6$ et $6 \times 90 = 540 = 18 \times 30$ . ✔ Donc $\text{PPCM}(a\,;b) = \dfrac{a \times b}{\text{PGCD}(a\,;b)}$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi PGCD × PPCM = $a \times b$ ? Décompose $a$ et $b$ en facteurs premiers. Pour chaque nombre premier, le PGCD le garde avec le plus petit des deux exposants, et le PPCM avec le plus grand. Or, pour deux nombres, « le plus petit + le plus grand » est égal à leur somme.

Avec $18 = 2^1 \times 3^2$ et $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$ :

pour 3, les exposants sont 2 et 1 : le PGCD prend 1, le PPCM prend 2, et $1 + 2 = 2 + 1$ ;
pour 5, les exposants sont 0 et 1 : $0 + 1 = 0 + 1$ ;
pour 2, les exposants sont égaux : $1 + 1 = 1 + 1$ .

Chaque facteur premier apparaît donc exactement autant de fois dans PGCD × PPCM que dans $a \times b$ : les deux produits sont égaux.

Exemples résolus

Les deux coureurs

Sur une piste, Inès boucle un tour en 72 secondes et Hugo en 90 secondes. Ils partent ensemble de la ligne. Au bout de combien de temps repasseront-ils ensemble sur la ligne ?

$72 = 2^3 \times 3^2$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ .
$\text{PPCM}(72\,;90) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$ .
Ils se retrouvent au bout de 360 secondes, soit 6 minutes : Inès aura fait $360 \div 72 = 5$ tours, et Hugo $360 \div 90 = 4$ tours.

Additionner des fractions

Pour calculer $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8}$ , on cherche le plus petit dénominateur commun, c’est-à-dire $\text{PPCM}(6\,;8) = 24$ :

\frac{5}{6} + \frac{3}{8} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24}

On aurait pu prendre $6 \times 8 = 48$ , mais les nombres auraient été plus grands, et il aurait fallu simplifier à la fin.

Attention

Ne confonds pas PGCD et PPCM : le PGCD est plus petit (ou égal) que les deux nombres, le PPCM est plus grand (ou égal).
Le produit $a \times b$ est un multiple commun, mais pas forcément le plus petit : $6 \times 8 = 48$ , alors que le PPCM est 24.
Pour le PPCM, on prend le plus grand exposant de chaque facteur ; pour le PGCD, le plus petit (et seulement les facteurs communs).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Synchroniser des horaires : un bus passe toutes les 12 minutes et un tram toutes les 20 minutes. S’ils partent ensemble à 7 h, ils se retrouvent toutes les $\text{PPCM}(12\,;20) = 60$ minutes : à 8 h, 9 h…
Acheter juste ce qu’il faut : les saucisses sont vendues par 6 et les pains par 8. Pour avoir autant de saucisses que de pains sans reste, il faut $\text{PPCM}(6\,;8) = 24$ de chaque, soit 4 paquets de saucisses et 3 de pains.
Entretenir un véhicule : une voiture fait la vidange tous les 15 000 km et change ses pneus tous les 40 000 km. Les deux tombent ensemble tous les $\text{PPCM} = 120\,000$ km.
Faire de la musique : un batteur joue un motif de 3 temps pendant qu’un pianiste joue un motif de 4 temps : les deux motifs retombent ensemble tous les 12 temps. C’est ce qui crée l’effet de « polyrythme ».
Prévoir des phénomènes : deux satellites tournent autour de la Terre en 90 et 120 minutes. Partis alignés, ils se retrouvent au même endroit toutes les 360 minutes, soit 6 h.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quel est le PPCM de 4 et 10 ?
Quel est le PPCM de 7 et 9 ?
On sait que 12 = 2² × 3 et 45 = 3² × 5. Quel est le PPCM de 12 et 45 ?
Deux guirlandes clignotent, l’une toutes les 4 secondes, l’autre toutes les 6 secondes. Elles s’allument ensemble maintenant. Dans combien de secondes s’allumeront-elles de nouveau ensemble ?
Des gobelets sont vendus par 25 et des assiettes par 15. Combien de paquets d’assiettes faut-il au minimum pour avoir autant d’assiettes que de gobelets ?
Sachant que PGCD(24 ; 36) = 12, que vaut PPCM(24 ; 36) ?