6e 🎲 Probabilités et statistiques Étape 1 / 15 du parcours

Les diagrammes statistiques

Diagramme en bâtons, diagramme circulaire et histogramme : comment représenter des données, calculer fréquences et angles, et choisir le bon graphique.

Un diagramme montre des données en un coup d’œil.

Ta classe a répondu à un sondage : « Comment viens-tu au collège ? ». Une liste de 30 réponses, c’est illisible.

Avec un diagramme, on voit tout de suite que le bus gagne : 10 élèves sur 30. Encore faut-il choisir le bon diagramme !

Le vocabulaire des statistiques

Définition

La population est l’ensemble étudié (les élèves de la classe) ; chaque élève est un individu.
Le caractère est ce qu’on observe (le moyen de transport, la taille…). Ses différentes valeurs possibles sont les modalités.
L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus qui ont cette modalité. L’effectif total est le nombre d’individus.
La fréquence d’une modalité est : $\text{fréquence} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ .

Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1. On l’écrit souvent en pourcentage : 0,25 = 25 %. Et la somme de toutes les fréquences vaut toujours 1, c’est-à-dire 100 %.

Mêmes données, trois diagrammes

Voici les réponses de la classe. Clique sur Bâtons, Circulaire ou En bande pour voir les mêmes données représentées de trois façons. Avec les boutons − et +, change les effectifs : les trois diagrammes, les fréquences et les angles se mettent à jour.

Remarque bien : quand tu ajoutes un élève dans « Bus », les bâtons des autres modalités ne bougent pas, mais leurs parts dans le diagramme circulaire diminuent. Le diagramme en bâtons montre des effectifs, le diagramme circulaire montre des proportions.

Le diagramme en bâtons

Construire un diagramme en bâtons

On place les modalités sur l’axe horizontal et on trace pour chacune un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif. On gradue régulièrement l’axe vertical, en partant de 0.

Il est parfait pour comparer des effectifs : le plus haut bâton saute aux yeux.

Le diagramme circulaire

Un disque complet représente tout l’effectif, soit 360°. Chaque modalité reçoit un secteur dont l’angle est proportionnel à son effectif.

Calculer l’angle d’un secteur

\text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360^\circ = \text{fréquence} \times 360^\circ

Exemple : le sondage de la classe

Sur 30 élèves, 10 viennent en bus, 8 à pied, 6 en voiture, 4 à vélo et 2 en trottinette.

Fréquence du bus : $\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\ \%$ .
Angle du bus : $\dfrac{10}{30} \times 360^\circ = 120^\circ$ .
Plus vite : 30 élèves pour 360°, donc 1 élève = 12°. À pied : $8 \times 12^\circ = 96^\circ$ ; voiture : $72^\circ$ ; vélo : $48^\circ$ ; trottinette : $24^\circ$ .
Vérification : $120 + 96 + 72 + 48 + 24 = 360^\circ$ .
On trace chaque angle au rapporteur, les uns à la suite des autres.

Le diagramme circulaire est idéal pour montrer une répartition : quelle part du tout représente chaque modalité ?

Un peu d’histoire

Les diagrammes en barres et circulaires ont été inventés par l’Écossais William Playfair : les barres apparaissent dans son Atlas commercial et politique en 1786, et le « camembert » en 1801. Quelques décennies plus tard, l’infirmière anglaise Florence Nightingale soigne les soldats blessés pendant la guerre de Crimée. Elle constate que bien plus de soldats meurent de maladies, à cause du manque d’hygiène, que de leurs blessures. Pour convaincre les responsables, elle dessine en 1858 un diagramme en forme de rose, si frappant qu’il contribue à faire réformer l’hygiène des hôpitaux militaires.

L’histogramme

Quand le caractère est une mesure (une taille, un temps, une masse), presque tous les individus ont une valeur différente. On regroupe alors les valeurs en classes, par exemple $[150 ; 160[$ : de 150 cm compris à 160 cm non compris.

Définition

Un histogramme représente des données regroupées en classes. Chaque classe est un rectangle posé sur l’axe horizontal, collé à ses voisins. Quand les classes ont la même amplitude, la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif.

Change l’amplitude des classes : avec des classes de 5 cm, on voit les détails ; avec 20 cm, on ne voit plus que la tendance générale. Clique sur un rectangle pour lire son effectif. Les points orange en bas sont les élèves qui le composent.

Exemple : lire l’histogramme

Avec des classes de 10 cm, le rectangle $[150 ; 160[$ a une hauteur de 12. Donc 12 élèves mesurent entre 150 cm (compris) et 160 cm (non compris), soit $\dfrac{12}{32} = 37{,}5\ \%$ de la classe. Un élève de 160 cm pile est compté dans la classe suivante, $[160 ; 170[$ .

Quel diagramme choisir ?

Situation	Diagramme adapté
Comparer des effectifs (sports préférés, notes…)	bâtons
Montrer les parts d’un tout (budget, votes…)	circulaire ou en bande
Une mesure regroupée en classes (tailles, durées…)	histogramme

Les pièges classiques

Un axe vertical qui ne commence pas à 0 exagère les différences : regarde toujours la graduation.
Dans un diagramme circulaire, on ne reporte pas l’effectif en degrés ! 10 élèves sur 30, c’est 120°, pas 10°.
La somme des angles doit faire exactement 360°, et la somme des fréquences 100 %. Sinon, il y a une erreur.
Dans un histogramme, les rectangles se touchent ; dans un diagramme en bâtons, ils sont séparés.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Les élections : les soirs de vote, les télévisions affichent un diagramme circulaire (ou en hémicycle) des sièges. Un parti qui obtient 25 % des voix occupe un secteur de 90°.
La météo : Météo-France publie chaque mois des diagrammes en bâtons des précipitations. On voit tout de suite qu’à Brest il tombe environ 130 mm de pluie en décembre, contre 50 mm en juillet.
Le sport : les applis de course à pied affichent un histogramme de tes temps au kilomètre, par classes de 15 secondes, pour voir si ton allure est régulière.
Le budget familial : une banque montre souvent tes dépenses du mois en camembert. Si tu as dépensé 30 € sur 120 € en jeux vidéo, c’est un quart du disque, 90°.
La santé : le carnet de santé contient des courbes de croissance, et les médecins comparent la taille d’un enfant à l’histogramme des tailles des enfants du même âge.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Dans une classe de 25 élèves, 5 font du judo. Quelle est la fréquence des judokas (en %) ?
Sur 36 élèves interrogés, 9 préfèrent le basket. Quel angle (en degrés) faut-il pour le secteur « basket » ?
Pour montrer la répartition du budget d’une famille entre logement, nourriture, loisirs…, le diagramme le plus adapté est :
On relève la durée de 200 appels téléphoniques, regroupés en classes [0 ; 2[, [2 ; 4[… minutes. Quel diagramme utiliser ?
Un élève mesure exactement 150 cm. Dans quelle classe est-il compté ?
Dans un sondage sur 60 personnes, 1 personne correspond à combien de degrés dans le diagramme circulaire ?