5e 🎲 Probabilités et statistiques Étape 2 / 15 du parcours

Premières notions de probabilités

Premières notions de probabilités : expérience aléatoire, issues, événements, calcul d’une probabilité et lien avec la fréquence, avec un dé à lancer.

Une probabilité mesure la chance qu’un événement arrive, avec un nombre entre 0 et 1.

Avant un match, l’arbitre lance une pièce. Personne ne peut prévoir pile ou face… mais tout le monde sait qu’il y a « une chance sur deux ».

Les probabilités mesurent ces chances avec un nombre : ici $\frac{1}{2}$ , soit 0,5.

Le vocabulaire

Expérience aléatoire et issues

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance.

Chaque résultat possible s’appelle une issue.

Exemples :

lancer une pièce : 2 issues, « pile » et « face » ;
lancer un dé à six faces : 6 issues, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ;
tirer une carte dans un jeu de 32 cartes : 32 issues.

Événement

Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non par le résultat de l’expérience. On le décrit par une phrase, et on peut lister les issues qui le réalisent.

Par exemple, avec un dé, l’événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6.

Certains événements ont un nom spécial :

un événement certain est toujours réalisé (« obtenir un nombre plus petit que 7 » avec un dé) ;
un événement impossible n’est jamais réalisé (« obtenir 8 » avec un dé).

La probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement est un nombre entre 0 et 1 qui mesure ses chances d’être réalisé. Plus elle est proche de 1, plus l’événement a de chances de se produire.

Un événement impossible a une probabilité égale à $0$ .
Un événement certain a une probabilité égale à $1$ .
Un événement qui a « une chance sur deux » a une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ , soit $0{,}5$ ou $50\,\%$ .

Situation d’équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, pièce bien faite, tirage au hasard…), on dit qu’il y a équiprobabilité. Alors, pour un événement $A$ :

P(A) = \frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}

Les issues favorables sont celles qui réalisent l’événement $A$ .

Un peu d’histoire

Les probabilités sont nées autour d’une table de jeu. En 1654, un joueur passionné, le chevalier de Méré, pose une question au savant Blaise Pascal : quand une partie de dés est interrompue avant la fin, comment partager équitablement l’argent des mises entre les joueurs ? Pascal en discute par lettres avec le magistrat toulousain Pierre de Fermat. Dans cette correspondance, ils inventent une façon de calculer les chances de chaque joueur : c’est le début de la théorie des probabilités. Aujourd’hui, elle sert aussi bien aux prévisions météo qu’aux médecins et aux assureurs.

Le dé

On lance un dé équilibré à six faces.

Il y a 6 issues, qui ont toutes la même chance.
« Obtenir 5 » est réalisé par une seule issue : $P = \dfrac{1}{6}$ .
« Obtenir un nombre pair » est réalisé par 2, 4 et 6 : $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .
« Obtenir un multiple de 3 » est réalisé par 3 et 6 : $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

La pioche-surprise de la kermesse

À la kermesse de l’école, chaque enfant pioche un ticket-surprise dans une urne de 10 tickets : 3 rouges (gagnent un livre), 5 bleus (gagnent un bonbon) et 2 verts (gagnent une peluche). Tu tires un ticket au hasard : tu gagnes forcément quelque chose !

Il y a $3 + 5 + 2 = 10$ tickets, donc 10 issues.
$P(\text{livre}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$ ; $P(\text{bonbon}) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$ ; $P(\text{peluche}) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$ .
Vérification : $0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}2 = 1$ . ✔

La somme vaut 1

La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience est toujours égale à $1$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Avec $n$ issues équiprobables, chaque issue a une probabilité de $\dfrac{1}{n}$ . Si on additionne les probabilités des $n$ issues :

\underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}_{n \text{ fois}} = \frac{n}{n} = 1

Avec le dé : $6 \times \dfrac{1}{6} = 1$ . C’est logique : l’événement « obtenir l’une des issues possibles » est certain, sa probabilité vaut 1.

Probabilité et fréquence

Si la probabilité d’obtenir 6 est $\dfrac{1}{6}$ , est-ce qu’on obtient forcément un 6 en lançant le dé six fois ? Pas du tout ! Fais l’expérience : lance le dé une fois, puis 10 fois, puis 100 fois et 1 000 fois. Les barres montrent la fréquence de chaque face, et la ligne rouge en pointillés indique $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ .

Fréquence

Le nombre de fois où un résultat est obtenu s’appelle son effectif. La fréquence de ce résultat est :

\text{fréquence} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}

où l’effectif total est le nombre d’essais. Par exemple, si on obtient 21 fois le 6 en 100 lancers, la fréquence du 6 est $\dfrac{21}{100} = 0{,}21$ .

Avec peu de lancers, les fréquences sont très irrégulières : une face peut n’être jamais sortie, une autre être sortie trois fois de suite. Mais plus tu fais de lancers, plus les barres se rapprochent toutes de la ligne rouge.

Ce qu’on observe

Quand on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un résultat se rapproche de sa probabilité.

C’est très utile quand on ne peut pas calculer une probabilité : pour savoir si une punaise lancée tombe plutôt sur la pointe ou sur le dos, on la lance des centaines de fois et on regarde les fréquences.

Les pièges à éviter

Attention

Une probabilité n’est jamais plus grande que 1, ni négative. Si tu trouves $\dfrac{7}{5}$ , il y a une erreur.
Le dé n’a pas de mémoire : après trois 6 de suite, la probabilité d’obtenir 6 au lancer suivant est toujours $\dfrac{1}{6}$ .
La formule « favorables sur total » ne marche que si les issues ont toutes la même chance. Avec une punaise ou un dé truqué, elle ne s’applique pas.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En météo : « 70 % de risque de pluie demain » est une probabilité de 0,7. Sur 10 jours annoncés comme ça, il pleut en moyenne 7 jours : mieux vaut prendre un parapluie !
Dans les jeux vidéo : quand un coffre a « 5 % de chances » de donner un objet rare, le jeu tire un nombre au hasard. En moyenne, il faut ouvrir 20 coffres pour en avoir un.
Dans les jeux de société : au Monopoly, avec deux dés, il y a 36 résultats possibles, dont 6 doubles (1-1, 2-2… 6-6). La probabilité de faire un double est donc $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ : en moyenne, un tour sur six.
Au sport : un tireur qui réussit 80 % de ses penaltys a une probabilité de 0,8 de marquer. L’entraîneur choisit ses tireurs grâce à ces fréquences.
En médecine : un médicament qui guérit 9 malades sur 10 lors des essais a une probabilité d’efficacité d’environ 0,9. Les médecins comparent ces nombres pour choisir un traitement.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

À la fête de l’école, chaque enfant fait tourner une roue de 8 secteurs identiques : 2 secteurs donnent un ballon, les autres un autocollant. Quelle est la probabilité d’avoir un ballon ? (en décimal)
Avec un dé équilibré, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre plus grand que 4 ?
Quelle est la probabilité d’un événement impossible ?
Dans une classe de 25 élèves, 10 rentrent déjeuner chez eux. On tire au sort un élève pour être délégué. Quelle est la probabilité qu’il rentre déjeuner chez lui ? (en décimal)
On a obtenu 6 trois fois de suite avec un dé équilibré. Au lancer suivant, la probabilité d’obtenir 6 est :
Sur 200 lancers d’une pièce, on a obtenu 92 fois « face ». Quelle est la fréquence de « face » ? (en décimal)