4e 🎲 Probabilités et statistiques Étape 3 / 15 du parcours

Moyenne pondérée : effectifs et fréquences

Moyenne pondérée en 4e : calculer une moyenne à partir d’un tableau d’effectifs ou de fréquences, et comprendre les coefficients.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les diagrammes statistiques , Proportionnalité et pourcentages

Dans une moyenne pondérée, chaque note compte autant de fois que son coefficient.

Ton bulletin : 12 en contrôle (coefficient 3) et 18 en exercice maison (coefficient 1). Ta moyenne n’est pas 15 : le 12 compte trois fois, donc $(12 \times 3 + 18) \div 4 = 13{,}5$ .

C’est aussi la bonne méthode dès qu’une valeur apparaît plusieurs fois dans une série.

Effectifs et fréquences

Définition

Dans une série statistique :

l’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît ;
l’effectif total $N$ est la somme de tous les effectifs ;
la fréquence d’une valeur est $\dfrac{\text{effectif de la valeur}}{N}$ . On l’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Les buts du club

Sur 20 matchs, une équipe de handball féminine a marqué :

Buts marqués par match	24	26	28	30
Effectif (nombre de matchs)	3	8	6	3
Fréquence	15 %	40 %	30 %	15 %

Par exemple, la fréquence de « 26 buts » est $\dfrac{8}{20} = 0{,}4 = 40$ %. La somme des fréquences fait toujours 100 %.

La moyenne pondérée par les effectifs

Pour les 20 matchs, inutile d’écrire $24 + 24 + 24 + 26 + 26 + \dots$ : on multiplie chaque valeur par son effectif.

Moyenne pondérée

Si les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_p$ ont pour effectifs $n_1, n_2, \dots, n_p$ (avec $N = n_1 + \dots + n_p$ ) :

\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{N}

Retour au handball

\bar{x} = \frac{3 \times 24 + 8 \times 26 + 6 \times 28 + 3 \times 30}{20} = \frac{72 + 208 + 168 + 90}{20} = \frac{538}{20} = 26{,}9

L’équipe marque en moyenne 26,9 buts par match.

Joue avec les effectifs

Voici les notes d’une classe à un contrôle. Avec les boutons + et −, change le nombre d’élèves ayant chaque note. Observe la moyenne : le diagramme est posé sur un pivot orange, placé exactement au point d’équilibre. Ajoute des 18 : le pivot glisse vers la droite !

Avec les fréquences ou les coefficients

Moyenne avec les fréquences

Si $f_1, f_2, \dots, f_p$ sont les fréquences (en décimal) des valeurs, alors

\bar{x} = f_1 x_1 + f_2 x_2 + \dots + f_p x_p

Pas besoin de diviser : les fréquences ont déjà « fait la division » par $N$ .

Pour le handball : $0{,}15 \times 24 + 0{,}4 \times 26 + 0{,}3 \times 28 + 0{,}15 \times 30 = 3{,}6 + 10{,}4 + 8{,}4 + 4{,}5 = 26{,}9$ . On retrouve bien le même résultat.

La moyenne du bulletin

Contrôle : 12 (coefficient 3) ; devoir maison : 18 (coefficient 1). Les coefficients jouent le rôle des effectifs : c’est comme si le 12 comptait trois fois.

\bar{x} = \frac{3 \times 12 + 1 \times 18}{3 + 1} = \frac{36 + 18}{4} = \frac{54}{4} = 13{,}5

La moyenne est 13,5, plus proche de 12 que de 18 : logique, le contrôle « pèse » plus lourd.

Les pièges

Attention

On divise par l’effectif total $N$ (ou par la somme des coefficients), pas par le nombre de valeurs différentes. Dans l’exemple du handball, on divise par 20, pas par 4.
Faire la moyenne des valeurs du tableau sans tenir compte des effectifs donne $\frac{24 + 26 + 28 + 30}{4} = 27$ : c’est faux !
La moyenne n’est pas forcément une des valeurs de la série : 26,9 buts n’arrive jamais dans un vrai match.

Contrôle express

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Si tu trouves 31 buts de moyenne avec des valeurs entre 24 et 30, recommence ton calcul !

L’« homme moyen » de Quetelet

Au XIXe siècle, le savant belge Adolphe Quetelet mesure des milliers de personnes : tours de poitrine de soldats écossais, tailles de conscrits, âges au mariage… Il regroupe les mesures en tableaux d’effectifs et calcule des moyennes pondérées à tour de bras. Il en tire, vers 1835, l’idée d’un « homme moyen ». Il invente au passage un indice resté célèbre : la masse divisée par la taille au carré, que l’on appelle aujourd’hui l’IMC. Et l’homme moyen existe-t-il vraiment ? Non : personne n’a toutes les mesures moyennes à la fois, exactement comme personne ne marque 26,9 buts.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Au collège : avec un 15 en devoir surveillé (coefficient 2) et un 9 en interrogation (coefficient 1), la moyenne vaut $\frac{2 \times 15 + 9}{3} = 13$ , et non 12.
Pour les avis en ligne : un restaurant a 40 avis à 5 étoiles, 10 à 4 étoiles et 10 à 1 étoile. Sa note moyenne est $\frac{40 \times 5 + 10 \times 4 + 10 \times 1}{60} = \frac{250}{60} \approx 4{,}2$ étoiles.
À la station-service : un plein de 30 L à 1,80 €/L puis un autre de 20 L à 1,90 €/L donnent un prix moyen de $\frac{30 \times 1{,}80 + 20 \times 1{,}90}{50} = 1{,}84$ € par litre, et non 1,85 €.
En météo : un mois de juin avec 10 jours à 15 °C, 12 jours à 18 °C et 8 jours à 21 °C a une température moyenne de $\frac{150 + 216 + 168}{30} = 17{,}8$ °C.
Dans les jeux vidéo : un butin peut donner 10 pièces avec une fréquence de 70 %, 50 pièces à 25 % et 500 pièces à 5 %. On gagne en moyenne $0{,}7 \times 10 + 0{,}25 \times 50 + 0{,}05 \times 500 = 44{,}5$ pièces par coffre.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Dans une série de 25 valeurs, la valeur 8 apparaît 5 fois. Quelle est sa fréquence (en %) ?
Notes : 10 (2 élèves), 14 (3 élèves). Quelle est la moyenne ?
Une note de 8 a le coefficient 1 et une note de 16 le coefficient 3. Quelle est la moyenne ?
Dans un tableau d’effectifs, par quoi divise-t-on la somme des produits ?
Un magasin vend 60 tee-shirts à 10 € et 40 à 15 €. Quel est le prix moyen d’un tee-shirt vendu (en €) ?
Fréquences : 0,5 pour la valeur 2 ; 0,3 pour 4 ; 0,2 pour 10. Quelle est la moyenne ?