4e 🎲 Probabilités et statistiques Étape 4 / 15 du parcours

Statistiques : moyenne et médiane

Moyenne et médiane d’une série statistique : comment les calculer, ce qu’elles veulent dire et pourquoi une valeur extrême change la moyenne mais pas la médiane.

La moyenne égalise les valeurs ; la médiane coupe la série en deux.

Lina a 9 notes en maths. Sa moyenne vaut 111 ÷ 9 ≈ 12,3 ; sa médiane, la note du milieu une fois les notes rangées, vaut 12.

Deux nombres pour résumer la même série… qui ne racontent pas tout à fait la même histoire.

Le vocabulaire

Série statistique

Une série statistique est une liste de données récoltées sur un sujet : des notes, des tailles, des températures… Le nombre de données s’appelle l’effectif total.

Voici les 9 notes de Lina, sur 20 :

12 \quad 8 \quad 15 \quad 10 \quad 13 \quad 16 \quad 12 \quad 11 \quad 14

L’effectif total est 9.

La moyenne

Moyenne

La moyenne d’une série s’obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par l’effectif total :

\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}

La moyenne de Lina

Somme : $12 + 8 + 15 + 10 + 13 + 16 + 12 + 11 + 14 = 111$ .
Effectif total : $9$ .
Moyenne : $111 \div 9 \approx 12{,}3$ .

La moyenne, c’est la note qu’aurait Lina si on « égalisait » toutes ses notes : en prenant des points aux bonnes notes pour les donner aux moins bonnes, toutes ses notes vaudraient environ 12,3.

On peut aussi la voir comme un point d’équilibre : si chaque note était un poids posé sur une règle graduée, la règle tiendrait en équilibre pile au niveau de la moyenne.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi la moyenne est-elle un point d’équilibre ? Notons $m$ la moyenne de $N$ valeurs $x_1, x_2, \dots, x_N$ . Additionnons tous les écarts à la moyenne :

(x_1 - m) + (x_2 - m) + \dots + (x_N - m) = (x_1 + x_2 + \dots + x_N) - N \times m

Or $m = \dfrac{x_1 + \dots + x_N}{N}$ , donc $N \times m = x_1 + \dots + x_N$ et la somme des écarts vaut 0. Les écarts positifs (notes au-dessus de la moyenne) compensent exactement les écarts négatifs : c’est l’équilibre de la règle. Pour Lina : les écarts au-dessus de $\frac{111}{9}$ font au total environ 8,7 points, et ceux en dessous aussi.

La médiane

Médiane

La médiane est la valeur qui partage la série, rangée dans l’ordre croissant, en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

La médiane de Lina (effectif impair)

On range les notes : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16.
Il y a 9 valeurs : la médiane est la 5^e, car il en reste 4 avant et 4 après.
La médiane vaut $12$ .

Quand l’effectif est pair, il n’y a pas de valeur pile au milieu : on prend alors la moyenne des deux valeurs centrales.

Effectif pair

Série rangée : $3 \;;\; 5 \;;\; \mathbf{7} \;;\; \mathbf{10} \;;\; 11 \;;\; 14$ .

Il y a 6 valeurs : les deux du milieu sont la 3^e et la 4^e, soit 7 et 10. La médiane vaut $\dfrac{7 + 10}{2} = 8{,}5$ .

Trouver le rang du milieu

Avec un effectif total $N$ impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{N + 1}{2}$ . Pour 9 valeurs : rang 5 ; pour 25 valeurs : rang 13.

Une note extrême : qui bouge ?

Voici les notes de Lina sur une droite graduée. Le triangle orange est le pivot placé à la moyenne : c’est le point d’équilibre. Le trait violet indique la médiane. Fais glisser une note très loin, par exemple jusqu’à 0 ou jusqu’à 20, ou utilise le bouton « Une note extrême ».

Tu observes que :

la moyenne bouge dès qu’on change n’importe quelle valeur. Une seule note très basse suffit à la faire chuter : avec un 0 au lieu du 8, elle passe de 12,3 à environ 11,4 ;
la médiane, elle, ne bouge pas tant que la valeur déplacée reste du même côté du milieu. Seul l’ordre compte, pas la distance.

À retenir

La moyenne tient compte de toutes les valeurs : elle est sensible aux valeurs extrêmes.
La médiane ne dépend que de l’ordre des valeurs : elle est peu sensible aux valeurs extrêmes.

Un peu d’histoire

En 1906, à une foire agricole de Plymouth, en Angleterre, environ 800 visiteurs participent à un concours : deviner le poids d’un bœuf. Le savant anglais Francis Galton récupère tous les tickets. Il s’attend à ce que la foule se trompe, mais il calcule la médiane des estimations : 1 207 livres. Le vrai poids était de 1 198 livres, moins de 1 % d’écart ! Galton a choisi la médiane exprès : quelques réponses farfelues ne pouvaient pas la fausser, alors qu’elles auraient déplacé la moyenne. C’est d’ailleurs lui qui a popularisé le mot anglais median, vers 1880.

C’est pour cela que, pour parler des salaires dans un pays, on donne souvent le salaire médian : quelques salaires énormes feraient monter la moyenne, sans que la plupart des gens gagnent plus.

Les pièges à éviter

Attention

Pour la médiane, il faut toujours ranger les valeurs dans l’ordre avant de chercher le milieu. Prendre la valeur du milieu de la liste non rangée est une erreur fréquente.
N’oublie aucune valeur, même les valeurs répétées : si 12 apparaît deux fois, on l’écrit deux fois.
La moyenne n’est pas forcément une des valeurs de la série (ici 12,3 n’est la note de personne).

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour les salaires : en France, le salaire médian est d’environ 2 100 € net par mois, alors que le salaire moyen est plus haut, vers 2 600 € : quelques très hauts salaires tirent la moyenne vers le haut.
En météo : la température moyenne de juillet à Paris est d’environ 21 °C. Les climatologues comparent ces moyennes année après année pour suivre le réchauffement climatique.
Au sport : un basketteur qui a marqué 120 points en 8 matchs a une moyenne de 15 points par match. Les recruteurs comparent ces moyennes pour choisir les joueurs.
Pour les jeux vidéo et les applis : une note de 4,6 étoiles sur 5, c’est la moyenne des avis de milliers de joueurs. Quelques notes à 1 étoile font baisser la moyenne, mais pas la médiane.
En médecine : sur le carnet de santé, les courbes de taille montrent la taille médiane des enfants de chaque âge : à 12 ans, environ 1,50 m. Le médecin voit tout de suite si un enfant grandit normalement.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Au basket, Inès a marqué 4, 6, 8, 10 et 12 points lors de ses 5 derniers matchs. Combien de points marque-t-elle en moyenne par match ?
Cinq amis notent leur temps de trajet pour aller au collège, en minutes : 7 ; 2 ; 9 ; 4 ; 5. Quel est le temps médian ?
Quelle est la médiane de la série 3 ; 6 ; 8 ; 12 ?
Dans une série de 9 valeurs, on remplace la plus grande valeur par une valeur encore plus grande. Que se passe-t-il ?
Une série a 15 valeurs rangées dans l’ordre croissant. Quel est le rang de la médiane ?
Les notes de Tom sont 10 ; 14 ; 15. Quelle note doit-il avoir au 4^e contrôle pour avoir 13 de moyenne ?