3e 🎲 Probabilités et statistiques Étape 5 / 15 du parcours

Étendue et quartiles

Étendue, premier et troisième quartiles, écart interquartile et boîte à moustaches : mesurer la dispersion d’une série statistique, pas à pas.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Statistiques : moyenne et médiane

L’étendue et les quartiles disent si les valeurs sont regroupées ou dispersées.

Deux classes ont 11 de moyenne au contrôle. Dans la première, les notes vont de 9 à 13 ; dans la seconde, de 2 à 19 !

Même centre, mais dispersion très différente : l’étendue vaut 4 d’un côté, 17 de l’autre.

classe 1 : étendue 4classe 2 : étendue 1705101520

L’étendue

Définition

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :

eˊtendue=valeur maximale−valeur minimale\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}

Avec les notes de 9 à 13, l’étendue vaut 13−9=413 - 9 = 4. Avec les notes de 2 à 19, elle vaut 19−2=1719 - 2 = 17 : la seconde série est beaucoup plus dispersée.

L’étendue est très simple à calculer, mais elle a un défaut : elle ne dépend que de deux valeurs. Un seul élève absent qui a eu 0 suffit à la faire exploser.

Les quartiles

L’idée : ranger les valeurs dans l’ordre croissant, puis les couper en quatre paquets d’environ 25 % chacun. Les valeurs « frontières » s’appellent les quartiles.

Définition

Les valeurs de la série étant rangées dans l’ordre croissant :

  • le premier quartile Q1Q_1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales ;
  • le troisième quartile Q3Q_3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
La méthode pour une série de n valeurs
  1. Range les valeurs dans l’ordre croissant.
  2. Calcule n4\dfrac{n}{4}. Si ce n’est pas un entier, arrondis à l’entier supérieur : tu obtiens le rang de Q1Q_1.
  3. Calcule 3n4\dfrac{3n}{4} et arrondis de même à l’entier supérieur : c’est le rang de Q3Q_3.
Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Le rang rr de Q1Q_1 doit vérifier deux conditions. D’abord, au moins 25 % des valeurs doivent être inférieures ou égales à la rr-ième valeur : rn⩾14\dfrac{r}{n} \geqslant \dfrac{1}{4}, c’est-à-dire r⩾n4r \geqslant \dfrac{n}{4}. Ensuite, rr doit être le plus petit possible.

Le plus petit entier supérieur ou égal à n4\dfrac{n}{4}, c’est justement n4\dfrac{n}{4} lui-même s’il est entier, et sinon n4\dfrac{n}{4} arrondi à l’entier supérieur. Même raisonnement pour Q3Q_3 avec 3n4\dfrac{3n}{4}.

Entre Q1Q_1 et Q3Q_3, on trouve environ la moitié centrale des valeurs. La largeur de cette zone mesure la dispersion sans être perturbée par les valeurs extrêmes.

Définition

L’écart interquartile est la différence Q3−Q1Q_3 - Q_1.

La boîte à moustaches

On résume souvent une série par cinq nombres : minimum, Q1Q_1, médiane, Q3Q_3, maximum. Le diagramme en boîte, ou boîte à moustaches, les dessine sur un axe : la boîte va de Q1Q_1 à Q3Q_3, un trait marque la médiane, et deux « moustaches » vont jusqu’au minimum et au maximum.

Fais glisser les notes sur l’axe, ajoute ou retire des élèves. Les points bleus sont ceux qui occupent le rang de Q1Q_1 et de Q3Q_3, le ou les points violets donnent la médiane. Essaie de tirer une seule note jusqu’à 0 : l’étendue bondit, mais la boîte bouge à peine !

Fais glisser les notes

Un peu d’histoire

Le mot « quartile » apparaît à la fin du XIXe siècle, chez des savants anglais comme Francis Galton, cousin de Charles Darwin, qui mesurait des milliers de personnes pour étudier l’hérédité. La boîte à moustaches est bien plus récente : c’est le statisticien américain John Tukey qui l’a popularisée dans les années 1970, notamment dans son livre Exploratory Data Analysis (1977). Tukey aimait inventer des mots : c’est aussi lui qui a proposé le mot « bit », l’unité de base de l’informatique !

Exemples résolus

Exemple : une course de 10 km

Voici les temps, en minutes, de 12 coureurs d’un club, déjà rangés :

38 ; 41 ; 42 ; 44 ; 45 ; 45 ; 47 ; 48 ; 50 ; 52 ; 55 ; 61

  1. Étendue : 61−38=2361 - 38 = 23 minutes.
  2. Q1 : 124=3\dfrac{12}{4} = 3, c’est un entier, donc Q1Q_1 est la 3e valeur : Q1=42Q_1 = 42 min.
  3. Médiane : 12 valeurs, c’est un nombre pair. La médiane est entre la 6e et la 7e valeur : 45+472=46\dfrac{45 + 47}{2} = 46 min.
  4. Q3 : 3×124=9\dfrac{3 \times 12}{4} = 9, donc Q3Q_3 est la 9e valeur : Q3=50Q_3 = 50 min.
  5. Écart interquartile : 50−42=850 - 42 = 8 minutes.

Interprétation : au moins un quart des coureurs ont mis 42 minutes ou moins, et la moitié centrale du club termine dans une fourchette de 8 minutes.

Exemple : quand n/4 n’est pas entier

Un magasin relève le nombre de clients par heure sur 10 heures : 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 21 ; 24 ; 25 ; 30 ; 34 ; 40.

  • 104=2,5\dfrac{10}{4} = 2{,}5, on arrondit à 3 : Q1Q_1 est la 3e valeur, soit 18.
  • 3×104=7,5\dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5, on arrondit à 8 : Q3Q_3 est la 8e valeur, soit 30.
  • Écart interquartile : 30−18=1230 - 18 = 12 clients.
Comparer deux séries

Pour comparer deux séries, compare d’abord leurs médianes (laquelle est la plus haute ?), puis leurs écarts interquartiles (laquelle est la plus regroupée ?). Deux boîtes à moustaches dessinées l’une au-dessus de l’autre rendent la comparaison immédiate.

Les pièges classiques
  • On range toujours les valeurs avant de chercher un quartile.
  • Le rang de Q1Q_1 s’arrondit toujours à l’entier supérieur, même pour 2,25 → 3.
  • Avec cette définition, Q1Q_1 et Q3Q_3 sont toujours des valeurs de la série (contrairement à la médiane, qui peut être une moyenne de deux valeurs).
  • Si une valeur se répète, compte-la autant de fois qu’elle apparaît.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • La santé : les courbes de poids des bébés montrent des zones de quartiles. Un bébé de 6 mois qui pèse 7,9 kg, entre Q1Q_1 et Q3Q_3, est dans la moitié centrale des bébés de son âge.
  • Les salaires : l’Insee publie les quartiles des salaires. En France, environ un quart des salariés gagnent moins de 1 600 € net par mois et un quart plus de 3 000 € : l’écart interquartile montre les inégalités mieux que la moyenne.
  • Les transports : la SNCF mesure la régularité des trains. Une ligne dont les retards ont un écart interquartile de 2 minutes est plus fiable qu’une ligne où il vaut 15 minutes, même si le retard médian est le même.
  • Le sport : un entraîneur qui compare deux sprinteurs au 100 m regarde la médiane de leurs temps, mais aussi leur étendue : 11,2 s à 11,4 s, c’est un athlète régulier ; 10,9 s à 12,1 s, c’est un athlète imprévisible.
  • Le contrôle qualité : une usine de bouteilles vérifie que le volume reste entre 498 et 502 mL. Si l’étendue des mesures dépasse 4 mL, la machine doit être réglée.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Quelle est l’étendue de la série 7 ; 12 ; 3 ; 15 ; 9 ?

  2. Une série a 20 valeurs rangées dans l’ordre croissant. Q1 est la valeur de rang :

  3. Série rangée : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 13 ; 16. Combien vaut Q3 ?

  4. Les pointures de 8 joueurs de basket sont 42 ; 43 ; 44 ; 44 ; 45 ; 46 ; 47 ; 49. Quel est l’écart interquartile ?

  5. Deux boulangeries ont le même temps d’attente médian. La première a un écart interquartile de 2 min, la seconde de 9 min. Laquelle est la plus régulière ?

  6. Dans une série, on remplace la plus grande valeur 18 par 40. Lequel de ces indicateurs change forcément ?

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