3e 🎲 Probabilités et statistiques Étape 6 / 15 du parcours

Les arbres de probabilités

Arbres de probabilités pour deux épreuves : construire un arbre pondéré, multiplier le long d’un chemin, additionner les chemins, avec ou sans remise.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Premières notions de probabilités

Sur un arbre, on multiplie le long d’un chemin, puis on additionne les chemins.

Sur le chemin du collège, tu passes deux feux. Chacun est vert avec une probabilité de 0,4.

Deux fois vert ? On suit la branche V puis V : $0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$ . L’arbre devient une vraie machine à calculer !

Une expérience en deux épreuves

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, puis on en tire une seconde.

Deux questions changent tout :

avec remise : on remet la première boule dans l’urne avant le second tirage, qui se fait donc dans les mêmes conditions que le premier ;
sans remise : on garde la première boule, et il n’en reste plus que 4 pour le second tirage.

L’arbre pondéré

Définition

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs épreuves.

Chaque branche porte la probabilité de l’issue vers laquelle elle mène.
Chaque chemin complet, de la racine jusqu’au bout, correspond à une issue de l’expérience.
Les branches qui partent d’un même nœud ont des probabilités dont la somme vaut 1.

Choisis « avec » ou « sans » remise, modifie le nombre de boules et observe les probabilités sur les branches. Clique sur les issues (à droite) pour construire un événement, puis lance une simulation de 1 000 tirages pour vérifier le calcul.

Les deux règles de calcul

Règle 1 : le long d’un chemin, on multiplie

La probabilité d’une issue est le produit des probabilités rencontrées sur les branches de son chemin.

Règle 2 : pour un événement, on additionne

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues (des chemins) qui le réalisent.

Pourquoi multiplier ? Sur 20 tirages, environ $\frac{3}{5}$ commencent par une rouge, soit 12. Parmi ces 12, sans remise, environ $\frac{2}{4}$ continuent par une rouge, soit 6. On obtient donc $\frac{6}{20} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}$ : on prend une fraction d’une fraction.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Numérote les boules : R1, R2, R3, B1, B2. Sans remise, il y a 5 choix pour la première boule, puis 4 pour la seconde : $5 \times 4 = 20$ tirages ordonnés, tous équiprobables. Ceux qui donnent (R, R) : 3 choix, puis 2, soit $3 \times 2 = 6$ . Donc

P(R, R) = \frac{3 \times 2}{5 \times 4} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}

C’est exactement le produit des probabilités des branches ! Avec remise, on trouverait de même $\dfrac{3 \times 3}{5 \times 5} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5}$ .

Exemples résolus

Exemple : deux boules de la même couleur (sans remise)

L’urne contient 3 rouges et 2 bleues ; on tire deux boules sans remise.

Premier tirage : $P(R) = \dfrac{3}{5}$ et $P(B) = \dfrac{2}{5}$ .
Si la première est rouge, il reste 2 rouges et 2 bleues : $\dfrac{2}{4}$ et $\dfrac{2}{4}$ .
Si la première est bleue, il reste 3 rouges et 1 bleue : $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{4}$ .
$P(R, R) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20}$ et $P(B, B) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$ .
$P(\text{même couleur}) = \dfrac{6}{20} + \dfrac{2}{20} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ .

Exemple : les deux feux tricolores

Chaque feu est vert avec une probabilité de 0,4, indépendamment de l’autre (cas « avec remise » : le premier feu ne change rien au second).

$P(\text{vert, vert}) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$ .
« Au moins un feu rouge » est l’événement contraire de « deux feux verts ».
Donc $P(\text{au moins un rouge}) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84$ .

Penser à l’événement contraire

« Au moins un… » se calcule souvent plus vite avec l’événement contraire : un seul chemin à calculer au lieu de trois. Et pour vérifier ton arbre : la somme des probabilités de toutes les issues doit valoir 1.

Un peu d’histoire

Le calcul des probabilités est né autour des jeux de hasard. En 1654, le chevalier de Méré, un joueur parisien, soumet ses problèmes à Blaise Pascal, qui en discute par lettres avec Pierre de Fermat. On raconte que l’un de ces casse-têtes était : vaut-il mieux parier sur « au moins un 6 en 4 lancers d’un dé » ou sur « au moins un double 6 en 24 lancers de deux dés » ? Avec l’événement contraire, on trouve $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518$ pour le premier pari et $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}491$ pour le second. Le premier est gagnant plus d’une fois sur deux, le second non : Méré perdait de l’argent sans comprendre pourquoi !

Les pièges classiques

Sans remise, le second tirage se fait dans une urne qui a changé : les dénominateurs diminuent de 1, et le numérateur de la couleur déjà tirée aussi.
On multiplie le long d’un chemin, on additionne entre chemins. Ne mélange pas les deux !
(R, B) et (B, R) sont deux issues différentes : « une rouge et une bleue » regroupe les deux chemins.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Le football : un tireur réussit 80 % de ses penalties. La probabilité qu’il marque deux tirs de suite vaut $0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64$ , et qu’il en rate au moins un $1 - 0{,}64 = 0{,}36$ .
Les jeux de société : au Monopoly, faire un double avec deux dés a une probabilité de $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ . En faire trois de suite (direction la prison !) : $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{216}$ .
Le contrôle qualité : une usine prélève 2 pièces sans remise dans un lot de 10 qui en contient 1 défectueuse. La probabilité de ne pas la trouver vaut $\frac{9}{10} \times \frac{8}{9} = 0{,}8$ : le contrôle la rate 8 fois sur 10 !
La génétique : deux parents porteurs d’un gène récessif le transmettent chacun avec une probabilité de $\frac{1}{2}$ . L’enfant reçoit les deux copies avec une probabilité de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
Les mots de passe : un code de cadenas à 2 chiffres choisis au hasard est deviné du premier coup avec une probabilité de $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{100}$ .

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Dans un arbre pondéré, les probabilités sur les branches issues d’un même nœud ont pour somme :
On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois Pile ? (en écriture décimale)
Une urne contient 2 rouges et 3 bleues. On tire deux boules AVEC remise. P(R, R) = ?
Une urne contient 2 rouges et 3 bleues. On tire deux boules SANS remise. Quelle est la probabilité de tirer deux bleues ? (en écriture décimale)
Une basketteuse réussit 70 % de ses lancers francs. Elle en tire deux. Quelle est la probabilité qu’elle les réussisse tous les deux ? (en écriture décimale)
Avec la même basketteuse, quelle est la probabilité qu’elle rate au moins un des deux lancers ? (en écriture décimale)