2nde 🎲 Probabilités et statistiques Étape 7 / 15 du parcours

Écart type et dispersion

Écart type et variance en 2nde : mesurer la dispersion d’une série autour de sa moyenne, la calculer pas à pas et l’interpréter.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Statistiques : moyenne et médiane , Étendue et quartiles , Moyenne pondérée : effectifs et fréquences

L’écart type mesure à quel point les valeurs s’éloignent de la moyenne.

Deux villes ont la même température moyenne : 20 °C. Faut-il faire la même valise ? Pas du tout !

Dans la ville A, il fait entre 18 et 22 °C ; dans la ville B, entre 12 et 28 °C. L’écart type mesure cette différence : environ 1,4 °C pour A, 5,7 °C pour B.

A : σ ≈ 1,4B : σ ≈ 5,7moyenne : 20 °C

Mesurer la dispersion

L’étendue (max − min) et l’écart interquartile donnent déjà une idée de la dispersion. Mais l’étendue ne regarde que deux valeurs, et ne tient pas compte de toutes les autres. L’idée de l’écart type : regarder l’écart de chaque valeur à la moyenne, puis en faire une sorte de moyenne.

Problème : la somme des écarts xi−xˉx_i - \bar{x} vaut toujours 0 (les écarts positifs compensent les négatifs). L’astuce consiste à les élever au carré pour qu’ils soient tous positifs.

Variance et écart type

Pour une série de valeurs x1,…,xpx_1, \dots, x_p d’effectifs n1,…,npn_1, \dots, n_p, d’effectif total NN et de moyenne xˉ\bar{x} :

  • la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
V=n1(x1−xˉ)2+n2(x2−xˉ)2+⋯+np(xp−xˉ)2NV = \frac{n_1 (x_1 - \bar{x})^2 + n_2 (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + n_p (x_p - \bar{x})^2}{N}
  • l’écart type est la racine carrée de la variance : σ=V\sigma = \sqrt{V}.

On prend la racine carrée pour revenir à l’unité des données : si les valeurs sont en grammes, la variance est en grammes au carré, mais l’écart type est en grammes.

Voir l’écart type

Les deux séries ci-dessous représentent des températures maximales (valeurs d’exemple) relevées pendant 8 jours dans deux villes. Elles ont la même moyenne, matérialisée par le trait pointillé. Fais varier l’étalement de chaque série : la bande colorée, de xˉ−σ\bar{x} - \sigma à xˉ+σ\bar{x} + \sigma, s’élargit ou se rétrécit. Mets un curseur à 0 : toutes les valeurs sont égales et l’écart type est nul.

Même moyenne, dispersions différentes

Interpréter l’écart type
  • σ≥0\sigma \geq 0 ; σ=0\sigma = 0 seulement si toutes les valeurs sont égales.
  • Plus σ\sigma est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
  • On compare les écarts types de séries qui ont la même unité et des moyennes du même ordre.

Calculer pas à pas

Les baguettes de deux boulangeries

Une baguette doit peser 250 g. On pèse 5 baguettes dans deux boulangeries.

  • Boulangerie A : 248 ; 252 ; 250 ; 246 ; 254.
  • Boulangerie B : 240 ; 262 ; 250 ; 235 ; 263.

Les deux moyennes valent xˉ=1 250÷5=250\bar{x} = 1\,250 \div 5 = 250 g. Calculons l’écart type de A :

Valeur xix_i248252250246254
Écart xi−xˉx_i - \bar{x}−2-22200−4-444
Carré de l’écart4401616

VA=4+4+0+16+165=8V_A = \dfrac{4 + 4 + 0 + 16 + 16}{5} = 8, donc σA=8≈2,8\sigma_A = \sqrt{8} \approx 2{,}8 g.

Pour B, les carrés des écarts sont 100, 144, 0, 225 et 169 : VB=6385=127,6V_B = \dfrac{638}{5} = 127{,}6 et σB≈11,3\sigma_B \approx 11{,}3 g.

Conclusion : même moyenne, mais la boulangerie A est bien plus régulière. Chez B, on peut tomber sur une baguette de 235 g !

À la calculatrice

En pratique, on entre les valeurs (et les effectifs) dans le menu statistiques de la calculatrice ou dans un tableur. L’écart type s’affiche sous le nom σx\sigma x (ou ECARTYPE.PEARSON dans un tableur). Attention : la touche sxs x calcule une autre version, utilisée pour les échantillons, qui divise par N−1N - 1.

Une formule plus rapide (König-Huygens)— facultatif, à sauter en première lecture

En développant (xi−xˉ)2=xi2−2xˉxi+xˉ2(x_i - \bar{x})^2 = x_i^2 - 2\bar{x}x_i + \bar{x}^2 et en faisant la moyenne pondérée de chaque morceau, on obtient :

V=1N∑nixi2  −  2xˉ⋅1N∑nixi  +  xˉ2=x2‾−2xˉ2+xˉ2=x2‾−xˉ2V = \frac{1}{N}\sum n_i x_i^2 \;-\; 2\bar{x}\cdot\frac{1}{N}\sum n_i x_i \;+\; \bar{x}^2 = \overline{x^2} - 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2

« La variance, c’est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. » Exemple : buts marqués par match, valeurs 0, 1, 2, 3, 4 avec effectifs 3, 5, 6, 4, 2 (N=20N = 20). On a xˉ=3720=1,85\bar{x} = \frac{37}{20} = 1{,}85 et x2‾=0+5+24+36+3220=4,85\overline{x^2} = \frac{0 + 5 + 24 + 36 + 32}{20} = 4{,}85. Donc V=4,85−1,852=1,427 5V = 4{,}85 - 1{,}85^2 = 1{,}427\,5 et σ≈1,19\sigma \approx 1{,}19 but.

Les pièges

Attention
  • Ne pas oublier les effectifs : chaque carré d’écart est multiplié par l’effectif de sa valeur.
  • Ne pas oublier la racine carrée à la fin : la variance n’est pas l’écart type.
  • Si on ajoute une même constante à toutes les valeurs, l’écart type ne change pas (tout se décale). Si on les multiplie par 2, l’écart type est multiplié par 2.
  • L’écart type est sensible aux valeurs extrêmes : une seule valeur aberrante peut le faire exploser.
Pearson baptise l’écart type

Dès le début du XIXe siècle, Carl Friedrich Gauss étudie les erreurs de mesure des astronomes et des géomètres : il comprend que la somme des carrés des écarts est la bonne façon de mesurer leur dispersion. Mais le nom standard deviation (« écart type ») n’apparaît qu’en 1894, dans une conférence du statisticien anglais Karl Pearson, qui choisit aussi la lettre grecque σ\sigma (sigma). Pearson voulait étudier l’hérédité avec des chiffres : il analysait des milliers de mesures de crânes, de plantes… et même de crabes ! Aujourd’hui, sa lettre σ\sigma se retrouve jusque dans les usines, avec la méthode de qualité « Six Sigma ».

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Dans l’industrie : une machine remplit des bouteilles de 75 cL avec un écart type de 0,4 cL. Si les volumes se répartissent « en cloche », environ 95 % des bouteilles contiennent alors entre 75−2×0,4=74,275 - 2 \times 0{,}4 = 74{,}2 et 75,875{,}8 cL ; si σ grimpe à 1,5 cL, on règle la machine.
  • En finance : deux placements rapportent en moyenne 4 % par an, mais l’un a un écart type de 1 % et l’autre de 15 %. Le second est beaucoup plus risqué : l’écart type sert à mesurer la volatilité.
  • En météo et climat : à Brest, les températures moyennes mensuelles varient peu (σ d’environ 3,5 °C), alors qu’à Strasbourg elles varient davantage (σ d’environ 6,5 °C) : climat océanique contre climat plus continental.
  • En médecine : les courbes de croissance du carnet de santé montrent la taille moyenne à chaque âge et des bandes à ±1 et ±2 écarts types. Un enfant très en dehors des bandes est surveillé de plus près.
  • En sport : deux basketteurs marquent 18 points de moyenne par match ; celui dont l’écart type vaut 3 points est plus régulier que celui dont l’écart type vaut 9 points.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Quel est l’écart type de la série 7 ; 7 ; 7 ; 7 ?

  2. Série : 2 ; 4 ; 6 ; 8. Calcule l’écart type (arrondi au centième).

  3. La variance d’une série vaut 16 cm². Que vaut l’écart type ?

  4. On ajoute 2 points à toutes les notes d’un contrôle. L’écart type des notes…

  5. Deux machines remplissent des paquets de 500 g. Machine A : σ = 2 g ; machine B : σ = 9 g. Laquelle est la plus fiable ?

  6. Une série a pour moyenne 10 et pour moyenne des carrés 109. Quel est son écart type ?

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