2nde 🎲 Probabilités et statistiques Étape 8 / 15 du parcours

Échantillonnage et fluctuation

Échantillonnage en 2nde : la fréquence observée sur un échantillon fluctue autour de la proportion p, le plus souvent à moins de 1/√n.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Premières notions de probabilités , Écart type et dispersion

D’un échantillon à l’autre, la fréquence varie… mais reste proche de la vraie proportion.

Lance 100 fois une pièce : 47 piles. Ton voisin : 54. Un troisième : 50 tout rond. Personne ne s’est trompé !

C’est la fluctuation d’échantillonnage. Elle obéit à des règles : c’est ce qui permet de prédire une élection en interrogeant seulement 1 000 personnes.

Population, proportion, échantillon

Définition

On étudie un caractère dans une population ; la proportion des individus ayant ce caractère est notée $p$ .
Un échantillon de taille $n$ est le résultat de $n$ tirages au hasard, indépendants, dans cette population (ou de $n$ répétitions d’une même expérience aléatoire).
La fréquence observée $f$ est la proportion d’individus ayant le caractère dans l’échantillon.

Par exemple, environ 10 % des gens sont gauchers : $p = 0{,}10$ . Si on tire 200 personnes au hasard et qu’on en trouve 23 gauchères, la fréquence observée est $f = \dfrac{23}{200} = 0{,}115$ : un peu plus que $p$ , sans que rien ne cloche.

La fluctuation en direct

Choisis une proportion $p$ et une taille d’échantillon $n$ , puis lance la simulation. Chaque point est la fréquence $f$ observée dans un nouvel échantillon. Les points verts tombent dans la bande $\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ , les rouges en dehors. Passe de $n = 25$ à $n = 1\,000$ : la bande se resserre, et les points aussi !

Ce que l’on observe

Fluctuation d’échantillonnage

D’un échantillon à l’autre, la fréquence $f$ varie : c’est la fluctuation d’échantillonnage.
Plus la taille $n$ est grande, plus les fréquences sont proches de $p$ (loi des grands nombres).
Pour des échantillons simulés de taille $n$ , la proportion des cas où l’écart entre $f$ et $p$ est inférieur ou égal à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est proche de 0,95 :

p - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq f \leq p + \frac{1}{\sqrt{n}} \quad \text{dans environ 95 \% des cas.}

Taille $n$	25	100	400	1 000	10 000
Écart $\frac{1}{\sqrt{n}}$	0,2	0,1	0,05	≈ 0,032	0,01

Pour diviser l’écart par 2, il faut un échantillon 4 fois plus grand. La précision coûte cher !

Exemples résolus

Le dé truqué ?

Paul lance 400 fois un dé et obtient 92 fois le 6. Son dé est-il suspect ?

Si le dé est équilibré, $p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ , et $\dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$ .
Dans 95 % des cas environ, $f$ devrait être entre $0{,}167 - 0{,}05 = 0{,}117$ et $0{,}167 + 0{,}05 = 0{,}217$ .
Ici $f = \dfrac{92}{400} = 0{,}23$ : c’est en dehors de l’intervalle.

Ce résultat arrive rarement avec un dé équilibré : on a de bonnes raisons de soupçonner le dé. Ce n’est pas une preuve absolue, juste un fort indice.

Le sondage

Sur 1 000 personnes interrogées au hasard, 540 déclarent faire du sport chaque semaine. Que peut-on dire de la proportion $p$ dans toute la population ?

Ici $f = 0{,}54$ et $\dfrac{1}{\sqrt{1\,000}} \approx 0{,}032$ . On estime que $p$ est probablement entre $0{,}54 - 0{,}032 \approx 0{,}51$ et $0{,}54 + 0{,}032 \approx 0{,}57$ , soit entre 51 % et 57 %. C’est la fameuse « marge d’erreur d’environ 3 points » des sondages.

Les pièges

Attention

« 95 % des cas » ne veut pas dire « toujours » : environ 1 échantillon sur 20 sort de la bande, même avec un dé parfait. Regarde les points rouges du simulateur !
L’échantillon doit être tiré au hasard. Interroger 10 000 personnes à la sortie d’un stade sur leur sport préféré ne donne pas une image fidèle de toute la population.
La précision dépend de la taille $n$ de l’échantillon, pas de la taille de la population : 1 000 personnes suffisent aussi bien pour la France que pour une grande ville.

D’où vient ce 1/√n ?— facultatif, à sauter en première lecture

Le nombre de succès dans un échantillon suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ , d’espérance $np$ et d’écart type $\sqrt{np(1-p)}$ . En divisant par $n$ , la fréquence $f$ a pour moyenne $p$ et pour écart type $\sigma_f = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ .

Or $p(1 - p) \leq \dfrac{1}{4}$ pour tout $p$ (le maximum est atteint en $p = 0{,}5$ ), donc $\sigma_f \leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ . Pour $n$ grand, la loi de $f$ ressemble à une courbe en cloche, et environ 95 % des valeurs sont à moins de $2\sigma_f$ de la moyenne. Or $2\sigma_f \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : voilà la bande verte !

Des milliers de pièces lancées à la main

En 1713 paraît, après sa mort, le livre de Jacques Bernoulli Ars Conjectandi (« l’art de conjecturer »). Il y démontre la première loi des grands nombres : en répétant une expérience assez de fois, la fréquence se rapproche de la probabilité. D’autres ont voulu le vérifier à la main. Au XVIIIe siècle, le naturaliste Buffon lance une pièce 4 040 fois et obtient 2 048 « face », soit une fréquence d’environ 0,507. Vers 1900, le statisticien Karl Pearson fait encore mieux : 24 000 lancers, 12 012 « face », soit une fréquence de 0,5005. Toi, avec le simulateur, tu fais 100 000 lancers en un clic !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour les sondages : avec 1 000 personnes interrogées, la marge d’erreur est d’environ $\frac{1}{\sqrt{1\,000}} \approx 3$ points. Un candidat crédité de 52 % peut donc en réalité être entre 49 % et 55 % : ce n’est pas une victoire assurée.
En contrôle qualité : une usine annonce 2 % de pièces défectueuses. Sur un lot de 2 500 pièces, on attend une fréquence entre $0{,}02 - 0{,}02 = 0$ et $0{,}04$ ; si on trouve 6 % de défauts, il faut arrêter la machine.
En médecine : pour qu’un essai clinique détecte qu’un traitement guérit 60 % des patients au lieu de 50 %, il faut des groupes assez grands pour que 10 points d’écart dépassent la fluctuation : avec 100 patients, l’écart $\frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ est trop juste.
En démographie : il naît environ 105 garçons pour 100 filles ( $p \approx 0{,}512$ ). Dans une maternité de 400 naissances par an, le pourcentage de garçons fluctue normalement entre environ 46 % et 56 %.
Dans les jeux vidéo : un objet rare « tombe » avec une probabilité de 5 %. Sur 100 coffres, un joueur peut en trouver 2 et un autre 9 sans qu’aucun jeu ne soit truqué.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Pour un échantillon de taille n = 2 500, que vaut 1/√n ?
Quand la taille n de l’échantillon augmente, les fréquences observées…
On lance 100 fois une pièce équilibrée. Entre quelles fréquences f tombe-t-on dans environ 95 % des cas ?
Pour diviser par 2 l’écart 1/√n, la taille de l’échantillon doit être multipliée par…
Une machine produit 10 % de pièces défectueuses. Sur 400 pièces, on en trouve 70 défectueuses (f = 0,175). Que penser ?
Un sondage sur 1 600 personnes donne 45 % d’avis favorables. Quelle est la marge d’erreur 1/√n, en points de pourcentage ?