1re 🎲 Probabilités et statistiques Étape 9 / 15 du parcours

La loi binomiale

La loi binomiale en 1re : épreuve et schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux et calcul de P(X = k), avec une planche de Galton animée.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Premières notions de probabilités

La loi binomiale compte les succès quand on répète la même épreuve.

Un QCM de 10 questions, 4 réponses à chaque fois, et tu réponds au hasard. Exactement 5 bonnes réponses ? Environ 5,8 % de chances.

Un arbre à 1 024 branches serait interminable : la loi binomiale donne la réponse en une formule.

L’épreuve de Bernoulli

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues : le succès, de probabilité $p$ , et l’échec, de probabilité $1 - p$ .

Lancer une pièce et regarder si elle tombe sur pile, tirer un bonbon et regarder s’il est rouge, répondre au hasard à une question de QCM (succès : bonne réponse, avec $p = \frac{1}{4}$ )… Ce sont des épreuves de Bernoulli. La variable aléatoire qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Un peu d’histoire

Ces épreuves portent le nom de Jacques Bernoulli, mathématicien suisse de Bâle. Pendant une vingtaine d’années, il travaille sur un grand livre consacré au hasard, Ars Conjectandi (« l’art de conjecturer »), mais il meurt en 1705 sans l’avoir terminé. C’est son neveu Nicolas qui le fait publier, en 1713. On y trouve la première démonstration de la « loi des grands nombres » : en répétant une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence des succès se rapproche de leur probabilité. Bernoulli tenait tant à ce résultat qu’on le surnomme parfois son « théorème d’or ».

Le schéma de Bernoulli

Définition

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $p$ .

Si $X$ compte le nombre de succès obtenus au cours de ces $n$ épreuves, on dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n ; p)$ .

$X$ peut prendre toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ . Notre QCM est un schéma de Bernoulli avec $n = 10$ et $p = 0{,}25$ : le nombre de bonnes réponses suit $\mathcal{B}(10 ; 0{,}25)$ .

Compter les chemins : les coefficients binomiaux

Dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli, chaque chemin qui contient exactement $k$ succès a la même probabilité : $p^k(1 - p)^{n-k}$ (on multiplie les probabilités le long du chemin). Il reste à savoir combien il y a de tels chemins.

Définition

Le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ , qui se lit « $k$ parmi $n$ », est le nombre de chemins de l’arbre qui comportent exactement $k$ succès sur $n$ épreuves.

Par exemple, avec $n = 3$ épreuves, les chemins avec 2 succès sont SSE, SES et ESS : donc $\dbinom{3}{2} = 3$ . On retient que $\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$ et $\dbinom{n}{1} = n$ . Pour les autres, la calculatrice les donne (touche « nCr » ou « Combinaison »).

Loi binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k \, (1 - p)^{n - k}

La planche de Galton

Une planche de Galton rend tout cela visible. Une bille tombe sur une rangée de clous : à chaque clou, elle part à droite (succès, probabilité $p$ ) ou à gauche. Après $n$ rangées, le numéro de la case où elle tombe est le nombre de fois où elle est partie à droite : il suit la loi $\mathcal{B}(n ; p)$ !

Règle $n$ et $p$ , puis lâche des billes. Les barres bleues sont les probabilités théoriques $P(X = k)$ ; les barres orange montrent les fréquences observées. Touche une barre pour lire la valeur exacte.

Plus tu lâches de billes, plus les fréquences orange se rapprochent des probabilités bleues. Remarque aussi que l’histogramme est le plus haut autour de $n \times p$ : avec $p = 0{,}5$ il est symétrique, et il se décale vers la gauche ou la droite quand $p$ change.

Espérance

Si $X$ suit $\mathcal{B}(n ; p)$ , alors son espérance vaut $E(X) = np$ . En moyenne, sur un grand nombre de répétitions, on obtient environ $np$ succès. (Ce résultat très intuitif sera démontré en Terminale.)

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Exemple

$X$ est le nombre de bonnes réponses obtenues au hasard : $X$ suit $\mathcal{B}(10 ; 0{,}25)$ .

Aucune bonne réponse : $P(X = 0) = \dbinom{10}{0} \times 0{,}25^0 \times 0{,}75^{10} = 0{,}75^{10} \approx 0{,}056$ .
Au moins une bonne réponse : c’est l’événement contraire, donc $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0{,}056 = 0{,}944$ .
Exactement 5 bonnes réponses : $\dbinom{10}{5} = 252$ , donc $P(X = 5) = 252 \times 0{,}25^5 \times 0{,}75^5 \approx 0{,}058$ .
En moyenne : $E(X) = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5$ bonnes réponses. Mieux vaut réviser !

Exemple : une loi binomiale ou pas ?

Une urne contient 3 boules rouges et 7 noires. On tire 4 boules avec remise et on compte les rouges : les tirages sont identiques et indépendants, donc ce nombre suit $\mathcal{B}(4 ; 0{,}3)$ .

Si on tire sans remise, la composition de l’urne change à chaque tirage : les épreuves ne sont plus identiques, ce n’est pas une loi binomiale.

« Au moins un » : pense au contraire

Pour calculer $P(X \geqslant 1)$ , ne fais pas la somme $P(X = 1) + \dots + P(X = n)$ : calcule $1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$ . C’est beaucoup plus rapide.

Les pièges classiques

Avant d’utiliser la formule, justifie que c’est un schéma de Bernoulli : deux issues, épreuves identiques et indépendantes, et $X$ compte les succès.
N’oublie pas le coefficient $\dbinom{n}{k}$ : $p^k(1 - p)^{n-k}$ est la probabilité d’un seul chemin.
La puissance de $1 - p$ est $n - k$ (le nombre d’échecs), pas $n$ .

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour le contrôle qualité : une usine sait que 2 % de ses ampoules sont défectueuses. Dans un carton de 50, la probabilité de n’en trouver aucune défectueuse est $0{,}98^{50} \approx 0{,}36$ : dans presque deux cartons sur trois, il y a au moins une ampoule à changer.
Pour les compagnies aériennes : si chaque passager a une probabilité de 0,05 de ne pas se présenter, sur 200 réservations on attend en moyenne $200 \times 0{,}05 = 10$ absents. C’est pour ça que les compagnies vendent parfois plus de billets que de places (le « surbooking »).
En médecine : si un vaccin protège chaque personne avec une probabilité de 0,9, alors dans une classe de 30 élèves vaccinés, on attend en moyenne 27 élèves protégés, et la loi binomiale donne la probabilité qu’au moins 25 le soient.
Dans les jeux vidéo : un coup critique a 25 % de chances de se déclencher. Sur 8 attaques, la probabilité d’en obtenir exactement 2 est $\binom{8}{2} \times 0{,}25^2 \times 0{,}75^6 \approx 0{,}31$ .
En génétique : deux parents porteurs d’un gène récessif ont, pour chaque enfant, une probabilité de $\frac{1}{4}$ de le transmettre en double. Pour 3 enfants, la probabilité qu’aucun ne soit concerné vaut $0{,}75^3 \approx 0{,}42$ .

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

X suit la loi B(3 ; 0,5). Combien vaut P(X = 3) ? (en écriture décimale)
Combien vaut le coefficient binomial « 2 parmi 4 » ?
Dans une boutique, chaque client achète quelque chose avec une probabilité de 0,3, indépendamment des autres. Sur 20 clients, combien d’acheteurs le vendeur peut-il espérer en moyenne ?
Un basketteur rate 20 % de ses lancers francs, de façon indépendante. Il en tire 5. Quelle est la probabilité qu’il n’en rate aucun ? (arrondie au centième)
On tire 3 cartes sans remise dans un jeu de 32 cartes et on compte les as. Ce nombre suit-il une loi binomiale ?
X suit B(n ; p). Que vaut P(X ≥ 1) ?

L’épreuve de Bernoulli

Le schéma de Bernoulli

Compter les chemins : les coefficients binomiaux

La planche de Galton

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À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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