1re 🎲 Probabilités et statistiques Étape 10 / 15 du parcours

Variables aléatoires et espérance

Variable aléatoire en 1re : loi de probabilité, espérance, variance et écart type, avec la roue des cadeaux d’une boulangerie à simuler.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Premières notions de probabilités , Statistiques : moyenne et médiane

L’espérance, c’est le gain moyen quand on répète l’expérience un grand nombre de fois.

Une boulangerie offre un tour de roue : rien, un café à 2 €, un bon de 5 € ou un gâteau à 20 €.

Pour un client, impossible de prévoir. Mais sur des centaines de clients, chaque tour coûte en moyenne 2,35 € : c’est l’espérance.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Dans une expérience aléatoire, on s’intéresse souvent à un nombre qui dépend du résultat : une valeur en euros, un score, une durée…

Définition

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.

Si $X$ prend les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ , donner la loi de probabilité de $X$ , c’est donner la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de chacune de ces valeurs. On la présente dans un tableau, et $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$ .

Pour la roue, on note $X$ la valeur du cadeau (en euros) obtenu par un client : c’est ce que le cadeau coûte à la boulangerie. Les secteurs « Merci ! », « Café », « Bon de 5 € » et « Gâteau » occupent 50 %, 30 %, 15 % et 5 % du disque :

Cadeau	Merci !	Café	Bon d’achat	Gâteau
$x_i$	$0$	$2$	$5$	$20$
$P(X = x_i)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}15$	$0{,}05$

Le « Merci ! » ne coûte rien : $X = 0$ . L’événement « le client repart avec un cadeau d’au moins 5 € » s’écrit $\{X \geq 5\}$ , et $P(X \geq 5) = 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}2$ .

L’espérance

Définition

L’espérance de $X$ est le nombre :

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i

C’est la moyenne des valeurs de $X$ , pondérée par leurs probabilités.

Un peu d’histoire

Le mot « espérance » vient des jeux de hasard. En 1657, le savant néerlandais Christiaan Huygens, qui avait entendu parler à Paris des échanges entre Pascal et Fermat, publie le premier livre imprimé sur les probabilités. Il y explique comment calculer la « valeur » d’une chance de gagner, c’est-à-dire ce qu’un joueur peut espérer gagner en moyenne : c’est notre espérance. Quelques décennies plus tard, le Suisse Jacques Bernoulli démontre la loi des grands nombres ; son livre Ars conjectandi (« l’art de conjecturer ») ne paraîtra qu’en 1713, huit ans après sa mort. Aujourd’hui, les assureurs, les banques et les casinos fondent tous leurs calculs sur l’espérance.

Exemple : la roue des cadeaux

E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}15 + 20 \times 0{,}05

E(X) = 0 + 0{,}6 + 0{,}75 + 1 = 2{,}35

En moyenne, sur un grand nombre de clients, chaque tour de roue coûte 2,35 € à la boulangerie. Pour 1 000 clients dans le mois, il faut donc prévoir environ 2 350 € de cadeaux.

Vérifie-le en simulant des clients

Fais tourner la roue, puis simule des centaines de clients. La courbe violette montre la moyenne des valeurs de $X$ obtenues depuis le début. Au début, elle saute dans tous les sens ; ensuite, elle se colle à la droite orange, celle de $E(X)$ . Déplace le budget cadeaux (ligne verte) : à partir de quel budget par client la boulangère est-elle sûre, en moyenne, de ne pas le dépasser ?

Cadeau
x_i (valeur)
P(X = x_i)

Ce phénomène porte un nom : la loi des grands nombres. Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées se rapproche de l’espérance.

Interpréter l’espérance

$E(X)$ est la valeur moyenne que prend $X$ quand on répète l’expérience un grand nombre de fois. Si $X$ est un coût, un temps ou une quantité, $E(X)$ permet de prévoir un total : pour $n$ répétitions, on peut compter sur environ $n \times E(X)$ .

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi la moyenne observée se rapproche-t-elle de $E(X)$ ? Voici l’idée (la démonstration rigoureuse est plus longue). Répète l’expérience $n$ fois, avec $n$ très grand. D’après la loi des grands nombres sur les fréquences, la valeur $x_i$ sort à peu près $n \times p_i$ fois. La moyenne des valeurs obtenues vaut alors environ :

\frac{x_1 \times n p_1 + x_2 \times n p_2 + \dots + x_k \times n p_k}{n} = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_k p_k = E(X)

Pour 1 000 clients de la boulangère : environ 500 « Merci ! », 300 cafés, 150 bons et 50 gâteaux, soit $600 + 750 + 1\,000 = 2\,350$ € au total, donc 2,35 € par client.

Exemple : régler la roue pour tenir le budget

La boulangère ne veut dépenser que 2 € par client en moyenne. Elle garde le café (0,3) et le bon d’achat (0,15), mais change la probabilité $p$ du gâteau ; le reste de la roue devient « Merci ! ».

$E(X) = 2 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}15 + 20p = 1{,}35 + 20p$ .

Il faut $1{,}35 + 20p = 2$ , soit $20p = 0{,}65$ et $p = 0{,}0325$ : le secteur « Gâteau » doit occuper 3,25 % de la roue au lieu de 5 %.

Variance et écart type

Deux situations peuvent avoir la même espérance et pourtant être très différentes : un bus qui a toujours un petit retard, et un bus presque toujours à l’heure mais parfois très en retard. Pour mesurer cette dispersion, on utilise la variance.

Définition

La variance de $X$ est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l’espérance, et l’écart type est sa racine carrée :

V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i \big(x_i - E(X)\big)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Exemple : deux lignes de bus

On note $A$ et $B$ le retard (en minutes) de deux lignes de bus.

Ligne A : 0 min de retard une fois sur deux, 4 min sinon. $E(A) = 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}5 = 2$ et $V(A) = 0{,}5 \times (0 - 2)^2 + 0{,}5 \times (4 - 2)^2 = 4$ , donc $\sigma(A) = 2$ min.
Ligne B : à l’heure 9 fois sur 10, mais 20 min de retard sinon. $E(B) = 20 \times 0{,}1 = 2$ et $V(B) = 0{,}9 \times (0 - 2)^2 + 0{,}1 \times (20 - 2)^2 = 3{,}6 + 32{,}4 = 36$ , donc $\sigma(B) = 6$ min.

Même retard moyen de 2 min, mais la ligne B est trois fois plus irrégulière : pour un rendez-vous important, mieux vaut prendre la ligne A.

Propriétés utiles

Pour tous réels $a$ et $b$ : $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2 V(X)$ . Par exemple, si la boulangère double la valeur de tous les cadeaux et ajoute 1 € d’emballage par client, l’espérance double puis augmente de 1, mais la variance est multipliée par 4.

Les pièges classiques

L’espérance n’est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre : ici, aucun cadeau ne vaut exactement 2,35 €.
Vérifie toujours que la somme des probabilités vaut 1 avant de calculer $E(X)$ .
N’oublie aucune issue, même celles qui valent 0 : le « Merci ! » compte dans la loi de $X$ avec sa probabilité 0,5.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Le commerce en ligne : une boutique sait que 30 % des visiteurs qui mettent un article à 40 € dans leur panier l’achètent vraiment. Chaque panier rapporte donc en moyenne $0{,}3 \times 40 = 12$ € : c’est ce chiffre qui lui dit combien elle peut dépenser en publicité pour attirer un visiteur.
L’assurance : si 1 % des smartphones assurés sont cassés chaque année, avec 400 € de réparation, l’assureur paie en moyenne $0{,}01 \times 400 = 4$ € par client. Il fixe sa prime au-dessus, par exemple 6 €, pour couvrir ses frais.
Le sport : un tir à 3 points réussi à 35 % rapporte en moyenne $3 \times 0{,}35 = 1{,}05$ point ; un tir à 2 points réussi à 50 % rapporte $1$ point. C’est ce calcul d’espérance qui a poussé les équipes de NBA à tirer de plus en plus à 3 points.
La finance : un investisseur compare deux placements de même rendement espéré, 5 % par an, mais d’écarts types 2 % et 15 %. Le second est beaucoup plus risqué.
L’informatique : on mesure la performance d’un algorithme de tri par le nombre moyen d’opérations, une espérance calculée sur toutes les listes possibles.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

X prend les valeurs 0, 10 et 50 avec les probabilités 0,7 ; 0,2 et 0,1. Combien vaut E(X) ?
Une loi de probabilité donne P(X = 1) = 0,2 et P(X = 2) = 0,5. X ne prend qu’une autre valeur, 3. Combien vaut P(X = 3) ? (en écriture décimale)
Le temps d’attente X à une caisse de supermarché a pour espérance E(X) = 4 minutes. Cela signifie que :
Dans un jeu vidéo, un coffre gratuit donne 100 pièces avec la probabilité 0,1, et 10 pièces sinon. Combien de pièces rapporte un coffre en moyenne ?
Un assureur couvre des vélos : chaque année, 2 % sont volés, et il rembourse alors 500 €. Combien doit-il payer en moyenne par client et par an (en €) ?
Si E(X) = 4, combien vaut E(2X + 3) ?

Variable aléatoire et loi de probabilité

L’espérance

Vérifie-le en simulant des clients

Variance et écart type

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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