1re 🎲 Probabilités et statistiques Étape 11 / 15 du parcours

Les probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles en 1re : définition de P_A(B), arbre pondéré, tableau croisé, formule des probabilités totales et indépendance.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les arbres de probabilités

Une information nouvelle (« sachant que… ») change la probabilité.

Un test repère 90 % des malades, mais se trompe chez 10 % des gens sains. La maladie touche 5 % des gens.

Sur 1 000 personnes : 45 malades positifs… et 95 sains positifs ! Sachant que ton test est positif, le risque d’être malade n’est que d’environ 32 %, pas 90 %.

Définition

Une information change les probabilités. Au lancer d’un dé, $P(\text{obtenir } 6) = \frac{1}{6}$ . Mais si l’on sait déjà que le résultat est pair, il ne reste que 2, 4 et 6 : la probabilité d’avoir 6 devient $\frac{1}{3}$ . On a restreint l’univers à l’événement « pair ».

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est :

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

C’est la proportion des issues de $A$ qui réalisent aussi $B$ .

Un peu d’histoire

L’idée de « retourner » une probabilité conditionnelle vient d’un pasteur anglais passionné de mathématiques, Thomas Bayes. Son texte sur le sujet n’a été publié qu’après sa mort : en 1763, son ami Richard Price le retrouve dans ses papiers et le présente à la Royal Society de Londres. Quelques années plus tard, en 1774, le Français Pierre-Simon de Laplace redécouvre la même idée et en fait un outil puissant. La « formule de Bayes » est aujourd’hui partout : diagnostics médicaux, filtres anti-spam, intelligence artificielle…

En multipliant par $P(A)$ , on obtient la formule la plus utilisée :

Probabilité d’une intersection

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

C’est exactement la règle « on multiplie le long d’un chemin » de l’arbre pondéré : la seconde branche porte une probabilité conditionnelle.

L’arbre et le tableau croisé

Voici un test de dépistage. On note $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif ». Les réglages sont :

$P(M)$ : la proportion de malades dans la population ;
$P_M(T)$ : la probabilité qu’un malade soit détecté (la sensibilité du test) ;
$P_{\overline{M}}(T)$ : la probabilité qu’une personne saine soit faussement positive.

L’arbre donne les probabilités ; le tableau traduit la même situation en effectifs, sur 10 000 personnes. Les cases colorées sont les tests positifs. Fais varier $P(M)$ : quand la maladie est rare, la plupart des positifs sont… des personnes saines !

La formule des probabilités totales

Pour calculer $P(T)$ , on regroupe tous les chemins qui mènent à $T$ .

Formule des probabilités totales

Si $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l’univers (avec $P(A) \neq 0$ et $P(\overline{A}) \neq 0$ ), alors pour tout événement $B$ :

P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)

Plus généralement, si $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l’univers, $P(B)$ est la somme des $P(A_i \cap B)$ .

Exemple : retourner l’arbre du dépistage

$P(M) = 0{,}05$ , $P_M(T) = 0{,}9$ et $P_{\overline{M}}(T) = 0{,}1$ .

$P(M \cap T) = 0{,}05 \times 0{,}9 = 0{,}045$ .
$P(\overline{M} \cap T) = 0{,}95 \times 0{,}1 = 0{,}095$ .
Probabilités totales : $P(T) = 0{,}045 + 0{,}095 = 0{,}14$ .
$P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}045}{0{,}14} \approx 0{,}321$ .

Conclusion : un test positif ne signifie « malade » qu’environ une fois sur trois. C’est pourquoi on confirme toujours un dépistage par un second examen.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

D’où vient le calcul de $P_T(M)$ ? D’après la formule de l’intersection, on peut écrire $P(M \cap T)$ de deux façons, selon l’événement dont on part :

P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = P(T) \times P_T(M)

En divisant par $P(T) \neq 0$ , on obtient la formule de Bayes :

P_T(M) = \frac{P(M) \times P_M(T)}{P(T)}

où $P(T)$ se calcule avec la formule des probabilités totales. On voit pourquoi le résultat est petit quand la maladie est rare : le numérateur contient le facteur $P(M)$ .

Exemple : à partir d’un tableau croisé

Dans un lycée de 800 élèves, 480 sont externes, dont 120 font du sport en club ; parmi les 320 demi-pensionnaires, 160 font du sport en club. On choisit un élève au hasard. On note $S$ « il fait du sport en club » et $E$ « il est externe ».

$P_E(S) = \dfrac{120}{480} = 0{,}25$ : on se restreint aux 480 externes.
$P(S) = \dfrac{120 + 160}{800} = 0{,}35$ .
$P_S(E) = \dfrac{120}{280} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}43$ : on se restreint aux 280 sportifs.

Dans un tableau, $P_A(B)$ se lit en divisant l’effectif de la case « $A$ et $B$ » par le total de la ligne (ou colonne) $A$ , pas par l’effectif total.

Événements indépendants

Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Si $P(A) \neq 0$ , cela revient à dire que $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ .

Dans l’exemple du lycée, $P_E(S) = 0{,}25$ alors que $P(S) = 0{,}35$ : être externe et faire du sport en club ne sont pas indépendants.

Les pièges classiques

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différentes en général : c’est toute la leçon du dépistage.
$P_A(B)$ et $P(A \cap B)$ sont différentes aussi : la première divise par $P(A)$ , pas la seconde.
« Indépendants » ne veut pas dire « incompatibles ». Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si l’un se produit, l’autre devient impossible.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

La médecine : pour une maladie qui touche 1 personne sur 1 000, avec un test sensible à 99 % et 2 % de faux positifs, $P_T(M) = \frac{0{,}001 \times 0{,}99}{0{,}001 \times 0{,}99 + 0{,}999 \times 0{,}02} \approx 0{,}047$ . Moins de 5 % des positifs sont malades : les médecins doivent connaître ce calcul.
Les filtres anti-spam : un filtre estime $P_G(\text{spam})$ , où $G$ est l’événement « le mail contient le mot gratuit ». Si 2 % des messages normaux et 40 % des spams contiennent ce mot, avec 30 % de spams au total, un mail contenant « gratuit » est un spam avec une probabilité d’environ 0,9.
La justice : le « sophisme du procureur » consiste à confondre $P(\text{indice} \mid \text{innocent})$ et $P(\text{innocent} \mid \text{indice})$ . Cette erreur a déjà conduit à des condamnations injustes.
L’assurance : un assureur calcule la probabilité d’un accident sachant l’âge du conducteur. Si 15 % des jeunes conducteurs ont un sinistre par an contre 5 % des autres, la prime n’est pas la même.
La météo : « 70 % de chances de pluie demain sachant qu’il pleut aujourd’hui » : les prévisions s’appuient sur des probabilités conditionnelles estimées à partir de décennies de relevés.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

On sait que P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1. Combien vaut P_A(B) ? (en écriture décimale)
On sait que P(A) = 0,6 et P_A(B) = 0,5. Combien vaut P(A ∩ B) ? (en écriture décimale)
Une usine a deux machines. La machine A fait 70 % des pièces, avec 2 % de défauts ; la machine B fait 30 % des pièces, avec 5 % de défauts. Quelle est la probabilité qu’une pièce prise au hasard soit défectueuse ? (en écriture décimale)
Même usine : une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de la machine B ? (arrondi au centième)
A et B sont indépendants, P(A) = 0,3 et P(B) = 0,5. Combien vaut P(A ∩ B) ? (en écriture décimale)
Dans un tableau croisé, pour calculer P_A(B), on divise l’effectif de « A et B » par :

	T (positif)	T̄ (négatif)	Total
M (malade)
M̄ (sain)
Total			10 000

Définition

L’arbre et le tableau croisé

La formule des probabilités totales

Événements indépendants

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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