1re 🎲 Probabilités et statistiques Étape 12 / 15 du parcours

Les événements indépendants

Événements indépendants en 1re : définition P(A∩B) = P(A)P(B), lien avec les probabilités conditionnelles, test sur un tableau croisé.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les probabilités conditionnelles , Les arbres de probabilités

Deux événements sont indépendants si l’un ne change pas la probabilité de l’autre.

Porter des lunettes change-t-il la probabilité de faire du sport en club ? Probablement pas : indépendants. Avoir révisé change celle de réussir son contrôle : pas indépendants !

Si $P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}3$ , l’indépendance se traduit par $P(A \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ .

La définition

Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Avec les probabilités conditionnelles

Si $P(A) \neq 0$ , alors : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B) = P(B)$ .

Autrement dit : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$ .

C’est logique : on sait que $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ . L’égalité de la définition revient donc à $P_A(B) = P(B)$ .

Le test, en image

Dans un lycée de 2 000 élèves, on note $A$ : « l’élève fait du sport en club » et $B$ : « l’élève porte des lunettes ». Règle la proportion de sportifs, puis la probabilité de porter des lunettes chez les sportifs ( $P_A(B)$ ) et chez les autres ( $P_{\bar{A}}(B)$ ). Dans le carré, chaque aire est une probabilité : la zone violette vaut $P(A \cap B)$ . Les événements sont indépendants exactement quand les deux traits orange sont à la même hauteur.

Tester l’indépendance sur un tableau

Lunettes et sport

Sur 2 000 élèves, 800 font du sport en club, 600 portent des lunettes, et 240 font les deux.

$P(A) = \dfrac{800}{2\,000} = 0{,}4$ et $P(B) = \dfrac{600}{2\,000} = 0{,}3$ , donc $P(A) \times P(B) = 0{,}12$ .
$P(A \cap B) = \dfrac{240}{2\,000} = 0{,}12$ .

Les deux nombres sont égaux : $A$ et $B$ sont indépendants. Vérification par les conditionnelles : $P_A(B) = \dfrac{240}{800} = 0{,}3 = P(B)$ .

Révisions et réussite

Sur 200 élèves, 120 ont révisé ( $R$ ) ; 150 ont eu la moyenne ( $M$ ), dont 105 parmi ceux qui ont révisé.

$P(R) \times P(M) = 0{,}6 \times 0{,}75 = 0{,}45$ , alors que $P(R \cap M) = \dfrac{105}{200} = 0{,}525$ .

Les événements ne sont pas indépendants : $P_R(M) = \dfrac{105}{120} = 0{,}875$ est bien supérieur à $P(M) = 0{,}75$ . Réviser, ça aide !

Répéter des expériences indépendantes

Quand on enchaîne des expériences qui ne s’influencent pas (lancers de dés, tirages avec remise…), les événements liés à chaque expérience sont indépendants. Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d’une branche.

Le digicode

Un digicode accepte un chiffre de 0 à 9 à chaque touche. Un cambrioleur tape 3 chiffres au hasard, indépendamment. La probabilité de trouver le bon code du premier coup vaut

\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{1\,000}.

Les pièges

Indépendants ≠ incompatibles

Deux événements incompatibles ( $A \cap B = \varnothing$ ) ne peuvent pas se produire ensemble : $P(A \cap B) = 0$ . S’ils ont des probabilités non nulles, ils sont alors très dépendants : si $A$ est réalisé, on est sûr que $B$ ne l’est pas ! Exemple : « le dé tombe sur 1 » et « le dé tombe sur 6 ».

Attention

L’indépendance se vérifie par le calcul, pas « au feeling ». Des événements qui semblent sans rapport peuvent être liés dans les données.
Le hasard n’a pas de mémoire : après 5 « pile » d’affilée, la probabilité d’obtenir « face » au lancer suivant est toujours $\frac{1}{2}$ .

Si A et B sont indépendants, A et non-B aussi— facultatif, à sauter en première lecture

On décompose $A$ en deux parties disjointes : $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$ . Donc

P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\bigl(1 - P(B)\bigr) = P(A) \times P(\bar{B}).

$A$ et $\bar{B}$ sont donc indépendants. Par le même raisonnement, $\bar{A}$ et $B$ , puis $\bar{A}$ et $\bar{B}$ le sont aussi. Dans le tableau croisé, cela se voit : si une case vérifie la règle du produit, les trois autres aussi.

Le chevalier de Méré et ses dés

En 1654, un joueur parisien, le chevalier de Méré, est perplexe. Il gagne souvent en pariant d’obtenir au moins un 6 en 4 lancers d’un dé, mais perd plus souvent qu’il ne gagne en pariant d’obtenir au moins un double 6 en 24 lancers de deux dés. Pourtant, selon lui, les deux paris se valent ! Il pose la question à Blaise Pascal, qui en discute par lettres avec Pierre de Fermat. En utilisant l’indépendance des lancers, on trouve $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518$ pour le premier pari, mais $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}491$ pour le second. Le chevalier avait un très bon flair… et la théorie des probabilités venait de naître.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En sécurité informatique : un code PIN de 4 chiffres tirés indépendamment a $10^4 = 10\,000$ possibilités ; un mot de passe de 8 caractères parmi 62 en a $62^8 \approx 2{,}2 \times 10^{14}$ .
En ingénierie : un avion possède deux systèmes indépendants pour une même fonction, chacun tombant en panne avec une probabilité de $10^{-4}$ par vol. La probabilité que les deux tombent en panne est $10^{-4} \times 10^{-4} = 10^{-8}$ .
En médecine : pour savoir si un facteur (le tabac) est lié à une maladie, on compare $P(\text{malade} \cap \text{fumeur})$ et $P(\text{malade}) \times P(\text{fumeur})$ ; un écart net signale un lien à étudier.
En génétique : chez des parents porteurs sains d’un gène récessif, chaque enfant a une probabilité $\frac{1}{4}$ d’être atteint, indépendamment de ses frères et sœurs. Pour deux enfants : $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ que les deux le soient.
Dans les jeux : la probabilité d’obtenir un Yahtzee (5 dés identiques) en un seul lancer est $6 \times \left(\frac{1}{6}\right)^5 = \frac{1}{1\,296}$ .

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et A, B indépendants. Que vaut P(A∩B) ?
P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 et P(A∩B) = 0,2. A et B sont-ils indépendants ?
A et B sont incompatibles, avec P(A) = 0,3 et P(B) = 0,4. Sont-ils indépendants ?
Une alarme a deux détecteurs indépendants, qui ratent chacun un intrus avec une probabilité de 0,05. Quelle est la probabilité que les deux le ratent ?
Si A et B sont indépendants avec P(A) ≠ 0, alors P_A(B) est égale à :
Dans un club de 500 membres, 200 jouent au tennis et 150 au golf. Combien doivent pratiquer les deux pour que « tennis » et « golf » soient indépendants ?

	B	non B	Total
A
non A
Total