Tle 🎲 Probabilités et statistiques Étape 13 / 15 du parcours

Dénombrement et combinaisons

Dénombrement en Terminale : principe multiplicatif, k-uplets, arrangements, permutations, combinaisons et triangle de Pascal, avec des listes animées.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Premières notions de probabilités , La loi binomiale

Dénombrer, c’est compter sans lister : on multiplie les possibilités de chaque étape.

Le cadenas de ton casier a 4 molettes de 10 chiffres : $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000$ codes possibles.

Podiums d’une finale à 8 coureurs : $8 \times 7 \times 6 = 336$ . Pizzas à 3 garnitures parmi 12 : 220. Le tout sans rien lister, ni rien compter deux fois !

Le principe multiplicatif

Principe multiplicatif

Si un choix se fait en plusieurs étapes successives, avec $n_1$ possibilités à la 1re étape, $n_2$ à la 2e, …, $n_p$ à la dernière (quels que soient les choix précédents), alors le nombre total de possibilités est :

n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p

Un menu avec 3 entrées, 4 plats et 2 desserts offre $3 \times 4 \times 2 = 24$ repas différents. Tout le reste de la leçon découle de cette idée.

Trois façons de choisir k éléments parmi n

Tout dépend de deux questions : l’ordre compte-t-il ? et peut-on reprendre le même élément ?

Les k-uplets : ordre important, répétitions permises

Un k-uplet d’un ensemble à $n$ éléments est une liste ordonnée $(x_1, x_2, \dots, x_k)$ de $k$ éléments, pas forcément distincts. Il y en a :

n^k

Les arrangements : ordre important, sans répétition

Un arrangement de $k$ éléments est un k-uplet d’éléments distincts. Il y en a :

n \times (n-1) \times \dots \times (n - k + 1) = \frac{n!}{(n-k)!}

où $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$ se lit « factorielle $n$ » (avec la convention $0! = 1$ ). Quand $k = n$ , on range tous les éléments : ce sont les permutations, il y en a $n!$ .

Les combinaisons : ordre sans importance, sans répétition

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est une partie à $k$ éléments, sans ordre. Leur nombre se note $\dbinom{n}{k}$ et se lit « $k$ parmi $n$ » :

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Pourquoi diviser par $k!$ ? Parce qu’une même équipe de $k$ personnes peut être rangée en $k!$ podiums différents : chaque combinaison est comptée $k!$ fois parmi les arrangements.

Change de mode, puis fais varier $n$ et $k$ : toutes les listes possibles s’affichent. Compare par exemple les arrangements et les combinaisons pour $n = 4$ et $k = 2$ : 12 podiums, mais seulement 6 équipes, car $(A, B)$ et $(B, A)$ forment la même équipe $\{A, B\}$ .

Propriétés des combinaisons et triangle de Pascal

À retenir

$\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$ et $\dbinom{n}{1} = n$ .
Symétrie : $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ (choisir les $k$ qui jouent revient à choisir les $n - k$ qui restent sur le banc).
Relation de Pascal : $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}$ .
Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \dots + \dbinom{n}{n} = 2^n$ .

La relation de Pascal se comprend avec un élément particulier, disons A : soit l’équipe contient A (il reste $k - 1$ joueurs à choisir parmi $n - 1$ ), soit elle ne le contient pas ( $k$ joueurs parmi $n - 1$ ). C’est elle qui construit le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui. Dans le widget, les deux cases orange s’additionnent pour donner la case violette.

Pourquoi c’est vrai ?— facultatif, à sauter en première lecture

Pourquoi un ensemble à $n$ éléments a-t-il $2^n$ parties ? Pour fabriquer une partie, on passe en revue les $n$ éléments un par un et on décide pour chacun : « dedans » ou « dehors ». Cela fait 2 choix, $n$ fois : d’après le principe multiplicatif, il y a $2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n$ parties.

Rangeons maintenant ces parties selon leur nombre d’éléments $k$ (de 0 à $n$ ) : il y en a $\binom{n}{k}$ dans chaque catégorie. On a compté deux fois la même chose, donc

\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n

Un peu d’histoire

Le triangle de Pascal… n’a pas été inventé par Pascal ! En Chine, Yang Hui le présente en 1261 (il l’attribue lui-même à Jia Xian, au XIe siècle), et Zhu Shijie le dessine en 1303 dans son Miroir de jade des quatre inconnues. En Perse, al-Karaji et Omar Khayyam le connaissaient aussi, et en Italie on parle encore du « triangle de Tartaglia ». Blaise Pascal en fait une étude complète dans son Traité du triangle arithmétique, écrit en 1654 et publié en 1665 : il y démontre ses propriétés par récurrence, l’une des premières utilisations explicites de ce type de raisonnement.

Exemples résolus

Exemple 1 : le cadenas et le code PIN

Un cadenas a 4 molettes de 10 chiffres chacune. Un code est une liste ordonnée de 4 chiffres, avec répétitions possibles (1 1 2 7 est autorisé) : c’est un 4-uplet de $\{0, …, 9\}$ . Il y a $10^4 = 10\,000$ codes.

Si les 4 chiffres doivent être distincts, c’est un arrangement : $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040$ codes.

Exemple 2 : la finale du 100 m

8 coureurs en finale. Le podium (or, argent, bronze) est une liste ordonnée de 3 coureurs distincts : $8 \times 7 \times 6 = 336$ podiums possibles.

Si l’on demande seulement quels coureurs sont qualifiés pour le tour suivant (les 3 premiers, sans ordre), c’est une combinaison : $\dbinom{8}{3} = \dfrac{336}{3!} = \dfrac{336}{6} = 56$ .

Exemple 3 : la pizza composée

Une pizzeria propose 12 garnitures. La pizza « composée » comprend 3 garnitures différentes (l’ordre ne compte pas), sur une pâte à choisir parmi 3 (classique, fine ou complète). Le nombre de pizzas possibles est :

\binom{12}{3} \times 3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \times 3 = 220 \times 3 = 660

En goûtant une pizza différente chaque jour, il faudrait presque deux ans pour toutes les essayer !

Les pièges classiques

Avant de calculer, pose-toi les deux questions : ordre ? répétition ? Une main de cartes n’a pas d’ordre ; un code de carte bancaire en a un.
Ne confonds pas $\dbinom{n}{k}$ et $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ : le second est $k!$ fois plus grand.
$0! = 1$ , et non 0 : sinon $\dbinom{n}{n} = \dfrac{n!}{n!\,0!}$ n’aurait pas de sens.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Cybersécurité : un mot de passe de 8 caractères pris parmi 62 (lettres minuscules, majuscules et chiffres) offre $62^8 \approx 2{,}2 \times 10^{14}$ possibilités. À un milliard d’essais par seconde, un pirate mettrait environ 2,5 jours pour tous les tester ; avec 12 caractères, plus de 100 000 ans.
Sport : dans un championnat à 18 équipes, chaque paire de clubs se rencontre deux fois (aller et retour) : $2 \times \binom{18}{2} = 2 \times 153 = 306$ matchs, soit 34 journées de 9 matchs.
Génétique : l’ADN s’écrit avec 4 lettres (A, C, G, T) et le code génétique les lit par 3 : il existe $4^3 = 64$ « codons », pour seulement 20 acides aminés, d’où des redondances.
Plaques d’immatriculation : le format français AB-123-CD utilise 23 lettres (sans I, O ni U) et les nombres de 001 à 999. Cela donne $23^4 \times 999 \approx 280$ millions de plaques : de quoi immatriculer des voitures pendant des décennies.
Probabilités : le coefficient $\binom{n}{k}$ de la loi binomiale compte les chemins avec $k$ succès. C’est grâce à lui qu’on calcule la probabilité d’avoir exactement 5 bonnes réponses sur 10 au hasard.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Combien de codes de carte bancaire à 4 chiffres (de 0000 à 9999) existe-t-il ?
Combien vaut 5! ?
Combien vaut « 2 parmi 6 » ?
12 chevaux prennent le départ d’une course. Combien de tiercés dans l’ordre (1er, 2e, 3e) sont possibles ?
Un entraîneur doit choisir 5 joueurs parmi 8 pour former l’équipe de départ (sans poste attribué). Combien d’équipes possibles ?
D’après la relation de Pascal, « 3 parmi 7 » est égal à :