Tle 🎲 Probabilités et statistiques Étape 14 / 15 du parcours

Nuage de points et corrélation

Nuage de points en Terminale : point moyen, droite des moindres carrés, coefficient de corrélation, et pourquoi corrélation n’est pas causalité.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Écart type et dispersion , Équations de droites

Un nuage de points montre si deux grandeurs varient ensemble ; une droite le résume.

Un glacier note chaque jour la température et ses ventes : plus il fait chaud, plus il vend. Mais combien de glaces de plus par degré ? Et peut-il prévoir ses ventes avec la météo ?

On dessine un nuage de points, puis la droite qui le résume. Gare au piège : corrélation n’est pas causalité.

Série à deux variables et nuage de points

Définition

Une série statistique à deux variables est une liste de couples $(x_i ; y_i)$ mesurés sur les mêmes individus. Dans un repère, les points $M_i(x_i ; y_i)$ forment le nuage de points.

Le point moyen du nuage est $G(\bar{x} ; \bar{y})$ , où $\bar{x}$ et $\bar{y}$ sont les moyennes des $x_i$ et des $y_i$ .

L’ajustement affine, à la main

Déplace les points bleus, ou touche une zone vide pour en ajouter. La droite orange est la droite des moindres carrés, recalculée à chaque mouvement ; le losange violet est le point moyen $G$ . Observe le coefficient $r$ : essaie de l’amener près de 1, de −1, puis de 0. Clique enfin sur « En courbe » : les points sont très bien rangés… et pourtant $r$ est proche de 0 !

La droite des moindres carrés

Parmi toutes les droites, on choisit celle qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.

Droite d’ajustement de y en x

La droite des moindres carrés a pour équation $y = ax + b$ avec

a = \frac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)} \qquad \text{et} \qquad b = \bar{y} - a\bar{x},

où $\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ est la covariance et $V(x)$ la variance des $x_i$ . Cette droite passe par le point moyen $G$ .

En pratique, la calculatrice ou le tableur donne $a$ et $b$ directement (fonction DROITEREG ou menu « régression linéaire »).

Le glacier fait ses prévisions

Température $x_i$ (°C)	15	20	25	30
Glaces vendues $y_i$	80	120	170	210

Point moyen : $\bar{x} = 22{,}5$ et $\bar{y} = 145$ , donc $G(22{,}5 ; 145)$ .
Écarts : $x_i - \bar{x}$ vaut $-7{,}5 ; -2{,}5 ; 2{,}5 ; 7{,}5$ et $y_i - \bar{y}$ vaut $-65 ; -25 ; 25 ; 65$ .
$\operatorname{cov}(x, y) = \dfrac{487{,}5 + 62{,}5 + 62{,}5 + 487{,}5}{4} = 275$ et $V(x) = \dfrac{56{,}25 + 6{,}25 + 6{,}25 + 56{,}25}{4} = 31{,}25$ .
$a = \dfrac{275}{31{,}25} = 8{,}8$ et $b = 145 - 8{,}8 \times 22{,}5 = -53$ .

La droite d’ajustement est $y = 8{,}8x - 53$ : environ 8,8 glaces de plus par degré. Pour une journée à 28 °C, on prévoit $8{,}8 \times 28 - 53 \approx 193$ glaces.

Le coefficient de corrélation

Coefficient de corrélation linéaire

r = \frac{\operatorname{cov}(x, y)}{\sigma_x \, \sigma_y}

On a toujours $-1 \leq r \leq 1$ .

$r$ proche de $1$ : forte corrélation linéaire positive (les points sont proches d’une droite qui monte) ;
$r$ proche de $-1$ : forte corrélation linéaire négative ;
$r$ proche de $0$ : pas de lien linéaire (mais il peut exister un autre type de lien).

Pour le glacier, $\sigma_y = \sqrt{2\,425} \approx 49{,}2$ et $\sigma_x = \sqrt{31{,}25} \approx 5{,}59$ , d’où $r \approx \dfrac{275}{5{,}59 \times 49{,}2} \approx 0{,}999$ : un ajustement affine est tout à fait justifié.

Corrélation n’est pas causalité

Le piège numéro 1

Une forte corrélation dit que deux grandeurs varient ensemble. Elle ne dit pas que l’une provoque l’autre.

Les ventes de glaces et le nombre de noyades sont fortement corrélées. Les glaces ne font pas couler les nageurs : c’est la chaleur (un troisième facteur caché) qui fait augmenter les deux.
En 2012, une revue médicale a montré, avec un clin d’œil, que les pays qui mangent le plus de chocolat ont le plus de prix Nobel par habitant. Manger du chocolat ne rend pas génial : la richesse d’un pays influence les deux.
Parfois, c’est le pur hasard : sur des milliers de séries de données, certaines se ressemblent sans aucun lien.

Attention

Extrapoler loin des données est risqué : la droite du glacier prévoit $-53$ glaces à 0 °C !
Un $r$ proche de 0 ne veut pas dire « aucun lien » : il veut dire « pas de lien en ligne droite » (essaie « En courbe » dans le widget).
Un seul point aberrant peut faire basculer la droite : déplace un point très loin pour voir.

Pourquoi la droite passe par G— facultatif, à sauter en première lecture

Pour $a$ fixé, cherchons le $b$ qui minimise $S(b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - a x_i - b)^2$ . C’est un polynôme du second degré en $b$ :

S(b) = n b^2 - 2b \sum_{i=1}^{n} (y_i - a x_i) + \sum_{i=1}^{n} (y_i - a x_i)^2.

Son minimum est atteint en $b = \dfrac{1}{n}\sum (y_i - a x_i) = \bar{y} - a\bar{x}$ , c’est-à-dire quand $\bar{y} = a\bar{x} + b$ : la droite passe par $G(\bar{x} ; \bar{y})$ . En remplaçant $b$ par cette valeur, il reste à minimiser un autre polynôme du second degré, en $a$ cette fois, et on obtient $a = \dfrac{\operatorname{cov}(x, y)}{V(x)}$ .

Des comètes aux petits pois

En 1805, le Français Adrien-Marie Legendre publie la méthode des moindres carrés pour calculer l’orbite des comètes ; Gauss affirme l’utiliser depuis 1795, ce qui déclenche une belle dispute de priorité. Quatre-vingts ans plus tard, l’Anglais Francis Galton compare la taille des parents et celle de leurs enfants, après avoir étudié des graines de petits pois. Il remarque que les enfants de parents très grands sont grands, mais un peu moins que leurs parents : il appelle cela la « régression vers la moyenne ». Le mot est resté : « régression linéaire » vient de là ! Son disciple Karl Pearson donne vers 1896 la formule du coefficient $r$ que nous utilisons encore.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

En commerce : notre glacier, avec $y = 8{,}8x - 53$ , commande environ $8{,}8 \times 32 - 53 \approx 229$ cornets quand la météo annonce 32 °C.
En médecine : on mesure la corrélation entre la dose d’un médicament et la baisse de tension. Un essai sur 200 patients qui donne $r = 0{,}85$ justifie d’étudier un modèle dose-effet.
En économie : la consommation d’électricité d’une ville est corrélée négativement à la température en hiver ( $r \approx -0{,}9$ ) ; les fournisseurs l’utilisent pour prévoir les pics de demande.
En sciences physiques : en traçant l’allongement d’un ressort en fonction de la masse suspendue, on obtient $r \approx 0{,}999$ ; la pente de la droite permet de calculer la raideur du ressort.
En intelligence artificielle : la régression linéaire est l’un des tout premiers modèles d’apprentissage automatique, utilisé par exemple pour estimer le prix d’un appartement à partir de sa surface.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Le point moyen d’un nuage a pour coordonnées x̄ = 4 et ȳ = 10. La droite d’ajustement a pour pente a = 2. Que vaut b ?
Un coefficient de corrélation r = −0,95 indique :
La droite d’ajustement d’un salon de thé est y = −4x + 150 (x : température en °C, y : boissons chaudes vendues). Combien de boissons prévoir à 12 °C ?
Dans une ville, le nombre de pompiers présents sur un incendie est fortement corrélé aux dégâts. On peut en conclure que :
cov(x, y) = 12, V(x) = 4. Quelle est la pente a de la droite des moindres carrés ?
La droite des moindres carrés passe toujours par :