Dix constantes célèbres en mathématiques

Certains nombres sont des stars : ils ont un nom, un symbole, une histoire.

Ils ont un nom, un symbole, parfois une fête annuelle ou un fan-club. Par exemple, ${\pi \approx 3{,}14159}$, et ses décimales ne s’arrêtent jamais !

Voici notre palmarès des dix constantes célèbres : des plus simples (0 et 1) aux plus mystérieuses (π, e, φ), plus trois curiosités qui font sourire les mathématiciens.

Plusieurs de ces stars ont une infinité de décimales sans motif qui se répète. Pour le voir, prends la loupe : choisis une constante, puis clique sur Zoomer ×10. À chaque zoom, la droite est découpée en 10 cases et la constante tombe dans l’une d’elles : le numéro de cette case, c’est la décimale suivante !

La loupe à décimales

π e φ √2

Dézoomer 🔍 Zoomer ×10

Tu peux zoomer autant que tu veux : on ne tombe jamais pile sur une graduation. C’est la marque d’un nombre irrationnel.

1. Zéro, le rien qui change tout

Pendant des siècles, on a compté sans zéro ! Les Babyloniens laissaient un espace, puis un petit signe, pour dire « rien à cette place », les Mayas avaient leur propre zéro, mais c’est en Inde que zéro devient un vrai nombre : en 628, l’astronome Brahmagupta écrit des règles pour calculer avec lui. Fibonacci le fait connaître en Europe en 1202.

Zéro a une règle d’or : on ne divise jamais par 0. Pourquoi ? Si $12 \div 0$ valait un nombre $q$, on aurait $q \times 0 = 12$. Or $q \times 0 = 0$, toujours. Impossible !

2. Un, le plus solitaire des nombres

Multiplier par 1 ne change rien : $1 \times 7{,}5 = 7{,}5$. C’est l’élément neutre de la multiplication. Et attention : 1 n’est pas un nombre premier, car il n’a qu’un seul diviseur.

Le savais-tu ? $0{,}999\dots$ (avec des 9 à l’infini) est égal à 1. Preuve express : $\frac{1}{3} = 0{,}333\dots$, et en multipliant par 3, on obtient $1 = 0{,}999\dots$

3. Racine de 2, le nombre qui a fâché Pythagore

$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 (merci Pythagore : $1^2 + 1^2 = 2$). Une tablette babylonienne, appelée YBC 7289 et datée vers 1800 – 1600 av. J.-C., en donne déjà une valeur juste à environ un millionième près !

Les disciples de Pythagore découvrent que $\sqrt{2}$ ne peut pas s’écrire comme une fraction. Selon une légende, l’un d’eux, Hippase, aurait été jeté à la mer pour avoir révélé ce secret.

🔧Pourquoi √2 n’est pas une fraction— facultatif, à sauter en première lecture

Supposons que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ avec une fraction irréductible. Alors $a^2 = 2b^2$, donc $a^2$ est pair, donc $a$ est pair : $a = 2c$. On remplace : $4c^2 = 2b^2$, donc $b^2 = 2c^2$ et $b$ est pair aussi. Mais alors $a$ et $b$ sont tous deux pairs : la fraction se simplifie par 2. Contradiction ! Donc $\sqrt{2}$ n’est pas une fraction.

4. Pi, la star des cercles

Dans n’importe quel cercle, le périmètre divisé par le diamètre donne toujours le même nombre : $\pi \approx 3{,}14159$. Archimède l’a coincé entre $3{,}1408$ et $3{,}1429$ vers 250 av. J.-C. ; aujourd’hui, des ordinateurs en ont calculé plus de 100 000 milliards de décimales. Pour la plupart des calculs de la NASA, une quinzaine suffit !

Exemple : une roue de vélo de 70 cm de diamètre avance de $\pi \times 70 \approx 220$ cm à chaque tour. En 1 000 tours de roue, tu parcours environ 2,2 km.

5. Le nombre e, le champion de la croissance

$e \approx 2{,}71828$ est apparu en 1683, quand Jacques Bernoulli étudiait… des intérêts bancaires ! Euler lui donne son nom, la lettre $e$, vers 1730. Imagine 1 € placé à 100 % par an, avec des intérêts versés de plus en plus souvent :

• une fois par an : $2$ € ;
• chaque mois : $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2{,}613$ € ;
• chaque jour : $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2{,}7146$ €.

Même en versant les intérêts chaque seconde, tu ne dépasseras jamais $e \approx 2{,}718$ €. Fais l’essai avec la loupe : e cache lui aussi une infinité de décimales.

6. Le nombre d’or φ, le plus « harmonieux »

$\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ s’appelle le nombre d’or. Euclide l’étudiait déjà sous le nom de « partage en extrême et moyenne raison ». Il a une propriété magique : $\varphi^2 = \varphi + 1$. Vérifie : $1{,}618^2 \approx 2{,}618$. Et les quotients de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci s’en rapprochent : $\frac{13}{8} = 1{,}625$, $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$, $\frac{34}{21} \approx 1{,}619$.

7. Le nombre i, l’imaginaire bien réel

Aucun nombre « normal » n’a un carré négatif. Les mathématiciens ont donc inventé $i$, avec $i^2 = -1$. Les Italiens Cardan (en 1545) et Bombelli (en 1572) osent calculer avec ces racines « impossibles » ; Descartes les qualifie d’imaginaires en 1637, et Euler choisit la lettre $i$ en 1777.

Les puissances de $i$ tournent en boucle : $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, puis ça recommence. Donc $i^{10} = i^8 \times i^2 = 1 \times (-1) = -1$. Et la formule la plus célèbre des maths réunit cinq stars de cette page : $e^{i\pi} + 1 = 0$.

8. Le googol, le très, très grand

Un googol, c’est $10^{100}$ : un 1 suivi de 100 zéros. Le nom a été inventé vers 1920 par Milton Sirotta, 9 ans, neveu du mathématicien américain Edward Kasner, qui l’a rendu célèbre. Les fondateurs de Google se sont inspirés de ce mot (avec une faute d’orthographe !).

Pour comparer : l’univers observable contient environ $10^{80}$ atomes. Un googol, c’est donc $10^{100} \div 10^{80} = 10^{20}$, soit cent milliards de milliards de fois plus.

9. 1729, le nombre du taxi

Vers 1918, le mathématicien anglais G. H. Hardy rend visite à son ami indien Srinivasa Ramanujan, malade. Il lui dit que son taxi portait le numéro 1729, « un nombre plutôt ennuyeux ». Ramanujan répond aussitôt que non : c’est le plus petit nombre qui s’écrit de deux façons comme somme de deux cubes !

$$1729 = 1^3 + 12^3 = 1 + 1728 \quad\text{et}\quad 1729 = 9^3 + 10^3 = 729 + 1000$$

10. 6174, le trou noir de Kaprekar

Prends un nombre de 4 chiffres (pas tous identiques). Range ses chiffres du plus grand au plus petit, puis du plus petit au plus grand, et soustrais. Recommence avec le résultat… Tu tombes toujours sur 6174, en 7 étapes au maximum ! Le mathématicien indien D. R. Kaprekar l’a découvert vers 1949.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

• À l’imprimerie : une feuille A4 mesure 21 cm sur 29,7 cm, et $29{,}7 \div 21 \approx 1{,}414 \approx \sqrt{2}$. Grâce à ce rapport, plier une A3 en deux donne exactement une A4, sans bande blanche à la photocopieuse.
• En vélo ou en voiture : le compteur calcule ta vitesse avec π. Une roue de 66 cm de diamètre parcourt $\pi \times 0{,}66 \approx 2{,}07$ m par tour.
• À la banque et en biologie : le nombre e sert à décrire tout ce qui grandit ou diminue « en pourcentage » : épargne, populations de bactéries, ou datation au carbone 14 d’un os préhistorique.
• En électricité : les ingénieurs utilisent le nombre $i$ (qu’ils notent souvent $j$) pour calculer les courants alternatifs des prises électriques, à 50 oscillations par seconde en France.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

1. Une feuille A4 mesure 29,7 cm sur 21 cm. Calcule 29,7 ÷ 21 (arrondi au centième).

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2. Une roue de trottinette a un diamètre de 20 cm. Quelle distance (en cm, arrondie à l’unité) parcourt-elle en un tour ?

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3. Lequel de ces nombres ne peut pas s’écrire comme une fraction ?

   0,5√21,25√9

4. Avec le nombre i, combien vaut i² ?

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5. Première étape de Kaprekar pour 4321 : combien vaut 4321 − 1234 ?

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6. 1729 = 9³ + ?³ (complète par un nombre entier)

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