Dix énigmes mathématiques célèbres

Une grande énigme : facile à comprendre, parfois des siècles pour la résoudre.

Voici dix énigmes : cinq résolues, parfois après 350 ans d’efforts, et cinq toujours ouvertes.

Pour trois d’entre elles, l’Institut Clay promet depuis 2000 un million de dollars ! Qui sait ? Tu trouveras peut-être la clé de l’une d’elles un jour.

1. Les ponts de Königsberg (résolue en 1736)

Au XVIII^e siècle, la ville de Königsberg (aujourd’hui Kaliningrad, en Russie) est traversée par une rivière, avec deux îles et sept ponts. Les habitants se demandent : peut-on faire une promenade qui passe une seule fois sur chaque pont ?

À toi d’essayer : clique sur une terre pour partir, puis sur les ponts orange pour les traverser. Ensuite, coche « Ajouter un 8^e pont » et recommence.

Les ponts de Königsberg

↺ Recommencer Ajouter un 8ᵉ pont Compter les ponts par terre

Avec sept ponts, tu restes toujours coincé ! En 1736, Leonhard Euler explique pourquoi, sans essayer tous les chemins : il compte seulement combien de ponts touchent chaque terre (coche la case pour les voir). Cette idée a donné naissance à la théorie des graphes.

🔧L’argument d’Euler— facultatif, à sauter en première lecture

Chaque fois que tu traverses une terre au milieu de ta promenade, tu utilises deux ponts : un pour entrer, un pour sortir. Une terre « de passage » touche donc un nombre pair de ponts. Seules la terre de départ et celle d’arrivée peuvent en toucher un nombre impair. Conclusion : une promenade est possible seulement si 0 ou 2 terres ont un nombre impair de ponts. À Königsberg, les quatre terres ont 5, 3, 3 et 3 ponts : quatre nombres impairs, c’est fichu ! Avec le 8^e pont, il n’en reste que deux : il faut partir de l’une et arriver à l’autre.

2. Le problème de Monty Hall (résolu… mais on ne le croit pas)

Dans un jeu télévisé, trois portes : une voiture derrière l’une, une chèvre derrière les deux autres. Tu choisis une porte. Le présentateur, qui sait tout, ouvre une autre porte avec une chèvre, puis te propose de changer. Faut-il changer ?

Oui ! En changeant, tu gagnes 2 fois sur 3. Regarde les trois cas, si tu as choisi la porte 1 :

• voiture derrière la 1 : en changeant, tu perds ;
• voiture derrière la 2 : le présentateur ouvre la 3, tu changes pour la 2 et tu gagnes ;
• voiture derrière la 3 : il ouvre la 2, tu changes pour la 3 et tu gagnes.

En 1990, la journaliste Marilyn vos Savant donne cette réponse dans un magazine américain : elle reçoit des milliers de lettres furieuses, dont certaines de docteurs en mathématiques… qui avaient tort. On raconte que le grand Paul Erdős lui-même n’a été convaincu qu’en voyant une simulation sur ordinateur.

3. Le théorème des quatre couleurs (résolu en 1976)

En 1852, Francis Guthrie colorie une carte des comtés d’Angleterre et remarque que 4 couleurs suffisent pour que deux régions voisines n’aient jamais la même couleur. Est-ce vrai pour toutes les cartes ?

Il faut parfois 4 couleurs : la Belgique, la France, l’Allemagne et le Luxembourg se touchent tous deux à deux, donc il leur faut 4 couleurs différentes. Mais jamais 5 ! La preuve, trouvée en 1976 par Kenneth Appel et Wolfgang Haken, a demandé plus d’un millier d’heures de calcul sur ordinateur : c’est le premier grand théorème démontré avec l’aide d’une machine.

4. Le dernier théorème de Fermat (résolu en 1994)

Tu connais $3^2 + 4^2 = 5^2$. Mais peut-on trouver des nombres entiers avec des cubes, ou des puissances plus grandes ? Pierre de Fermat affirme que non : l’équation $x^n + y^n = z^n$ n’a aucune solution en entiers positifs dès que $n \geq 3$.

On passe très près : $6^3 + 8^3 = 216 + 512 = 728$, alors que $9^3 = 729$. Raté d’une unité ! Il a fallu attendre 1994 pour que l’Anglais Andrew Wiles le démontre, plus de 350 ans après Fermat.

5. La conjecture de Poincaré (résolue en 2003)

En 1904, le Français Henri Poincaré pose une question sur les formes de l’espace. Version simplifiée : sur une sphère, un élastique posé n’importe comment peut toujours glisser jusqu’à se réduire à un point. Sur une bouée, non : s’il fait le tour du trou, il reste coincé. Poincaré se demande si cette propriété suffit à reconnaître une « sphère » en trois dimensions.

C’est le Russe Grigori Perelman qui le démontre, en publiant ses travaux sur Internet en 2002 et 2003. Il refuse la médaille Fields en 2006, puis le million de dollars de l’Institut Clay en 2010. C’est le seul des sept problèmes du millénaire résolu à ce jour.

6. La conjecture de Goldbach (toujours ouverte)

En 1742, Christian Goldbach écrit à Euler. Son idée, en version moderne : tout nombre pair plus grand que 2 est la somme de deux nombres premiers.

• $4 = 2 + 2$, $10 = 3 + 7 = 5 + 5$, $28 = 5 + 23 = 11 + 17$
• $100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53$

Des ordinateurs l’ont vérifiée jusqu’à $4 \times 10^{18}$ (4 milliards de milliards), mais personne ne sait la démontrer pour tous les nombres pairs.

7. Les nombres premiers jumeaux (toujours ouverte)

Deux nombres premiers sont jumeaux s’ils ne diffèrent que de 2 : $(3 ; 5)$, $(5 ; 7)$, $(11 ; 13)$, $(17 ; 19)$, $(29 ; 31)$, $(41 ; 43)$… Plus on avance, plus les nombres premiers se font rares. Alors, y a-t-il une infinité de paires de jumeaux ?

On ne sait pas ! En 2013, Yitang Zhang a fait sensation en prouvant qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers séparés de moins de 70 millions. Depuis, des chercheurs du monde entier ont fait descendre cet écart à 246. Encore un effort pour arriver à 2 !

8. La conjecture de Syracuse (toujours ouverte)

Choisis un nombre entier. S’il est pair, divise-le par 2. S’il est impair, multiplie-le par 3 et ajoute 1. Recommence. On attribue cette question à l’Allemand Lothar Collatz, vers 1937 : arrive-t-on toujours à 1 ?

Avec 6 : $6 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$. Huit étapes. Avec 27, c’est la folie : 111 étapes, en montant jusqu’à 9 232 avant de redescendre ! Vérifiée par ordinateur jusqu’à plus de $10^{20}$, la conjecture n’est toujours pas démontrée.

9. L’hypothèse de Riemann (toujours ouverte)

Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100, 168 inférieurs à 1 000, et 1 229 inférieurs à 10 000. Ils se raréfient, mais de façon irrégulière. En 1859, l’Allemand Bernhard Riemann propose une hypothèse qui décrirait très précisément leur répartition. Elle porte sur une fonction compliquée, la « fonction zêta », et sur les points où elle s’annule.

C’est sans doute l’énigme la plus célèbre des mathématiques : elle fait partie des problèmes du millénaire, et plus d’un millier de résultats publiés commencent par « si l’hypothèse de Riemann est vraie, alors… ».

10. P = NP ? (toujours ouverte)

Résoudre une grille de sudoku géant est long. Mais vérifier une grille déjà remplie est rapide. Question posée en 1971 par Stephen Cook : un problème dont la solution est facile à vérifier est-il toujours facile à trouver ? Si la réponse était « oui » (P = NP), on pourrait résoudre en un éclair des problèmes aujourd’hui impossibles… et casser une grande partie des codes secrets d’Internet. La plupart des chercheurs pensent que la réponse est « non », mais personne ne l’a prouvé. Encore un million de dollars à gagner !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

• Pour les tournées : la théorie des graphes, née à Königsberg, aide un camion-poubelle ou un chasse-neige à passer dans chaque rue d’une ville en faisant le moins de kilomètres en double.
• Pour les antennes de téléphone : deux antennes voisines ne doivent pas utiliser la même fréquence, comme deux pays voisins sur une carte. Colorier un graphe permet de répartir quelques dizaines de fréquences entre des milliers d’antennes.
• Pour ta carte bancaire : sa sécurité repose sur le fait que trouver les deux nombres premiers dont le produit fait un nombre de plusieurs centaines de chiffres est (pour l’instant) bien trop long, même pour un ordinateur. C’est tout l’enjeu de P = NP.
• Pour décider mieux : Monty Hall rappelle de recalculer les probabilités quand une information nouvelle arrive, ce que font les médecins après un résultat de test.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

1. À Königsberg, combien de terres (rives et îles) touchent un nombre impair de ponts ?

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2. Au jeu de Monty Hall, quelle est ta probabilité de gagner la voiture si tu changes de porte ?

   1/31/22/3

3. Syracuse : en partant de 12, combien d’étapes faut-il pour arriver à 1 ?

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4. Un facteur veut passer une seule fois dans chaque rue de son quartier. Il y a 4 carrefours où se croisent un nombre impair de rues. Est-ce possible ?

   Oui, en partant de n’importe oùOui, mais seulement en partant d’un de ces carrefoursNon, c’est impossible

5. Tu colories une carte de ta région : chaque commune d’un seul tenant, deux communes voisines de couleurs différentes. Combien de couleurs suffisent toujours ?

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6. Le « presque Fermat » : combien vaut 6³ + 8³ ?

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