L’hôtel de Hilbert et l’infini
L’hôtel de Hilbert : un hôtel complet aux chambres infinies qui accueille pourtant de nouveaux clients. Comprendre l’infini en s’amusant, avec une animation.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les nombres pairs et impairs
Dans un hôtel infini déjà complet, on peut toujours loger un client de plus.
Un soir d’orage, l’hôtel de Hilbert affiche COMPLET. Ses chambres sont numérotées 1, 2, 3, 4… sans fin.
Le réceptionniste demande à chaque client de passer à la chambre suivante : la n° 1 se libère pour le voyageur trempé. Bienvenue dans le monde étrange de l’infini !
L’hôtel infini
L’hôtel de Hilbert est un hôtel imaginaire qui a une chambre pour chaque nombre entier : 1, 2, 3, 4… sans fin. Ce soir, chaque chambre est occupée par un client.
Dans un hôtel normal de 100 chambres toutes occupées, impossible de loger un 101e client. Mais ici, il n’y a pas de « dernière chambre ». Le réceptionniste a une astuce…
Clique sur « 1 nouveau client » et regarde tout le monde se décaler. Puis essaie « Un car infini arrive » : une infinité de nouveaux passagers débarquent… et tout le monde trouve quand même une chambre !
Le premier tour de magie : un client de plus
Le réceptionniste annonce au micro : « Que le client de la chambre déménage dans la chambre ! »
- Le client de la 1 va en 2, celui de la 2 en 3, celui de la 100 en 101…
- Personne ne se retrouve dehors, car chaque chambre a une suivante.
- La chambre 1 est libre : le voyageur s’y installe.
Cinq amis arrivent ensemble. Comment les loger ?
- On demande au client de la chambre d’aller en chambre .
- Le client de la chambre 1 va en 6, celui de la 2 en 7, … celui de la 37 en 42.
- Les chambres 1, 2, 3, 4 et 5 se libèrent pour les cinq amis.
Ça marche pour n’importe quel nombre fini de nouveaux clients.
Le grand tour : une infinité de nouveaux clients
Maintenant, un car arrive avec une infinité de passagers, numérotés 1, 2, 3… Décaler tout le monde « de l’infini » ne veut rien dire. Le réceptionniste a une meilleure idée :
« Que le client de la chambre aille dans la chambre ! »
- 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6… Les anciens clients occupent maintenant toutes les chambres paires.
- Toutes les chambres impaires (1, 3, 5, 7…) sont libres : il y en a une infinité !
- Le passager numéro du car prend la chambre : le 1er va en 1, le 2e en 3, le 10e en 19.
Cette histoire révèle un fait déroutant : il y a « autant » de nombres pairs que de nombres entiers, puisqu’on peut les associer un à un (1 avec 2, 2 avec 4, 3 avec 6…) sans en oublier aucun. Pour un ensemble infini, une partie peut être aussi grande que le tout !
Dès 1638, Galilée avait remarqué un paradoxe : les carrés 1, 4, 9, 16… sont bien plus rares que les entiers, et pourtant chaque entier a son carré. Il en avait conclu qu’il valait mieux ne pas comparer les infinis !
Deux siècles plus tard, l’Allemand Georg Cantor ose le faire. À partir de 1874, il montre que certains infinis sont plus grands que d’autres : il y a « plus » de nombres à virgule entre 0 et 1 que de nombres entiers. Beaucoup de mathématiciens de l’époque trouvent ses idées absurdes, et Cantor en souffre beaucoup. Mais le grand David Hilbert prend sa défense : « Nul ne doit nous exclure du paradis que Cantor a créé ». C’est lors d’une conférence en 1924 que Hilbert raconte l’histoire de l’hôtel, que le physicien George Gamow rendra célèbre dans un livre de 1947.
L’infini qui ne rentre pas dans l’hôtel— facultatif, à sauter en première lecture
Imagine un car rempli de tous les nombres à virgule entre 0 et 1. Supposons qu’on ait réussi à leur donner une chambre à chacun, et écrivons la liste : chambre 1 : 0,314… ; chambre 2 : 0,500… ; chambre 3 : 0,127…
Fabriquons alors un nombre « rebelle » : sa 1re décimale est différente de celle du client 1, sa 2e différente de celle du client 2, sa 3e différente de celle du client 3, et ainsi de suite (par exemple 0,418…). Ce nombre n’est dans aucune chambre, puisqu’il diffère de chaque client au moins par une décimale. Contradiction : ces nombres ne peuvent pas tous être logés ! C’est l’« argument de la diagonale » de Cantor (1891).
L’infini n’est pas un nombre comme les autres : « infini + 1 » ou « infini × 2 » ne se calculent pas comme . Et l’hôtel de Hilbert est une expérience de pensée : aucun bâtiment réel ne peut avoir une infinité de chambres !
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Les mondes « infinis » des jeux vidéo : dans Minecraft, le monde est généré au fur et à mesure qu’on explore, comme s’il était sans fin… mais une bordure existe à 30 millions de blocs du centre. Un vrai infini ne tiendrait dans aucune mémoire d’ordinateur.
- Les tableurs et les listes : insérer une ligne en haut d’un tableau de 10 000 lignes oblige l’ordinateur à décaler les 10 000 lignes d’un rang : c’est la règle « » de l’hôtel, mais en version finie (et ça prend du temps de calcul !).
- La tablette de chocolat sans fin : tu manges la moitié d’une tablette, puis la moitié du reste, puis la moitié du reste… Une infinité de bouchées, et pourtant : au total, une seule tablette.
- Ta calculatrice : elle affiche , mais la vraie écriture a une infinité de 3. Les ordinateurs doivent arrondir, et les ingénieurs savent qu’une petite erreur répétée des millions de fois peut devenir grande.
- En physique et en sciences : quand un objet se rapproche sans fin d’une valeur (un café qui refroidit vers la température de la pièce, par exemple), les scientifiques utilisent les outils de l’infini, appelés limites, pour faire leurs calculs.