Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 7 / 15 du parcours

Nombres parfaits et nombres amicaux

Nombres parfaits (6, 28, 496…) et nombres amicaux (220 et 284) : des diviseurs qui s’additionnent pile, de Pythagore à un lycéen de 16 ans, avec un widget.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Multiples et diviseurs , Les nombres premiers

Un nombre parfait est égal à la somme de ses autres diviseurs.

Les diviseurs de 6, sans compter 6 lui-même, sont 1, 2 et 3. Additionne-les : $1 + 2 + 3 = 6$ . Pile lui-même !

Les Grecs trouvaient ça si beau qu’ils ont appelé 6 un nombre parfait. Et ce n’est que le début d’une drôle de famille.

Diviseurs propres : le point de départ

Diviseurs propres

Les diviseurs propres d’un nombre entier sont tous ses diviseurs sauf lui-même.

Exemple : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 3, 4, 6, et leur somme vaut 16.

En comparant cette somme au nombre, on obtient trois sortes de nombres :

Déficient, parfait ou abondant

Si la somme des diviseurs propres est plus petite que le nombre, il est déficient : 8 → $1 + 2 + 4 = 7$ .
Si elle est égale au nombre, il est parfait : 28 → $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ .
Si elle est plus grande, il est abondant : 12 → $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$ .

La balance des diviseurs

En haut, la barre orange représente le nombre. En bas, ses diviseurs propres sont mis bout à bout. Si la barre du bas s’arrête exactement sur la ligne pointillée, le nombre est parfait.

Bouge le curseur pour explorer, essaie 6, 28 et 496… puis tape 220 et clique sur « Aller à la somme » : tu vas découvrir un drôle de couple.

Tu le remarques vite : les nombres parfaits sont très rares. Entre 1 et 10 000, il n’y en a que quatre : 6, 28, 496 et 8 128. La plupart des nombres sont déficients (tous les nombres premiers, par exemple, puisque leur seul diviseur propre est 1).

Les nombres amicaux

Nombres amicaux

Deux nombres différents sont amicaux si chacun est égal à la somme des diviseurs propres de l’autre.

Le plus petit couple est 220 et 284 :

diviseurs propres de 220 : $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$ ;
diviseurs propres de 284 : $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$ .

Des amis célèbres… et un lycéen italien

Selon le philosophe grec Jamblique (vers 300 apr. J.-C.), on aurait demandé à Pythagore ce qu’était un ami. Il aurait répondu : « Un autre moi-même, comme 220 et 284. » Vers 300 av. J.-C., Euclide donne dans ses Éléments une recette pour fabriquer des nombres parfaits. Au IX^e siècle, à Bagdad, Thābit ibn Qurra trouve une formule pour les nombres amicaux.

Puis les plus grands s’en mêlent : le Français Pierre de Fermat annonce en 1636 le couple 17 296 et 18 416 (déjà connu de savants arabes), René Descartes trouve en 1638 le couple 9 363 584 et 9 437 056, et Leonhard Euler en découvre des dizaines. Pourtant, tous étaient passés à côté d’un couple bien plus petit : 1 184 et 1 210 ! Il a été découvert en 1866 par un Italien de 16 ans, Nicolò Paganini (rien à voir avec le célèbre violoniste).

La recette d’Euclide

Fabriquer des nombres parfaits

Si $2^p - 1$ est un nombre premier, alors $N = 2^{p-1} \times (2^p - 1)$ est un nombre parfait.

$p$	$2^p - 1$	premier ?	$N$
2	3	oui	$2 \times 3 = 6$
3	7	oui	$4 \times 7 = 28$
4	15	non	—
5	31	oui	$16 \times 31 = 496$
7	127	oui	$64 \times 127 = 8\,128$

Les nombres premiers de la forme $2^p - 1$ s’appellent les nombres premiers de Mersenne, du nom du moine français Marin Mersenne (XVII^e siècle). Chaque nouveau nombre de Mersenne premier donne un nouveau nombre parfait. Au XVIII^e siècle, Euler a prouvé que tous les nombres parfaits pairs sont fabriqués ainsi.

Pourquoi la recette marche (exemple avec 496)— facultatif, à sauter en première lecture

$496 = 2^4 \times 31$ , et 31 est premier. Ses diviseurs sont donc les puissances de 2 jusqu’à $2^4$ , puis ces mêmes puissances multipliées par 31 :

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ ;
$31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 31 \times (1 + 2 + 4 + 8 + 16) = 31 \times 31 = 961$ .

La somme de tous les diviseurs vaut $31 + 961 = 992 = 2 \times 496$ . En retirant 496 lui-même, il reste exactement 496. Le même calcul marche avec n’importe quel $p$ : la somme $1 + 2 + \dots + 2^{p-1}$ vaut toujours $2^p - 1$ .

28 est-il parfait ? Méthode rapide

On cherche les diviseurs par paires : $28 = 1 \times 28 = 2 \times 14 = 4 \times 7$ (3, 5 et 6 ne divisent pas 28).
Diviseurs propres : 1, 2, 4, 7, 14 (on enlève 28).
Somme : $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ . Oui, 28 est parfait !

Attention

N’oublie pas le diviseur 1, et n’ajoute pas le nombre lui-même ! Une seule erreur et 28 te paraîtra « abondant » (avec 56) ou « déficient » (avec 27).

Un mystère reste entier : personne ne sait s’il existe un nombre parfait impair. Les ordinateurs ont cherché très, très loin… sans en trouver, mais sans prouver qu’il n’en existe pas.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Les nombres « abondants » qu’on adore : 12, 60 et 360 ont beaucoup de diviseurs. C’est pour ça qu’on vend les œufs par 12 (on partage par 2, 3, 4 ou 6), que l’heure a 60 minutes (12 diviseurs : on parle facilement de quart d’heure, de tiers d’heure, de 5 minutes) et que le tour complet fait 360° (24 diviseurs).
Pour ranger des objets en rectangle : 24 canettes peuvent former des packs de 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 ou 4 × 6. Chaque rectangle correspond à une paire de diviseurs de 24 ; un nombre premier comme 23, lui, ne donne qu’une seule rangée.
Dans les jeux et les programmes : beaucoup de générateurs de nombres aléatoires, comme le célèbre « Mersenne Twister » utilisé dans de nombreux langages de programmation, reposent sur le nombre premier de Mersenne $2^{19\,937} - 1$ .
La chasse aux records : des milliers de bénévoles prêtent la puissance de leur ordinateur au projet GIMPS pour chercher de nouveaux nombres premiers de Mersenne. En octobre 2024, l’un d’eux, de plus de 41 millions de chiffres, a été découvert ainsi, donnant du même coup un nouveau nombre parfait géant. Une fondation promet même 150 000 dollars pour le premier nombre premier de 100 millions de chiffres !

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la somme des diviseurs propres de 28 ?
Le nombre 12 est…
Quel est le nombre parfait qui suit 28 ?
La somme des diviseurs propres de 220 vaut 284. Que vaut la somme des diviseurs propres de 284 ?
Combien de minutes y a-t-il dans un tiers d’heure ? (60 est divisible par 3 !)
Un fabricant veut ranger 36 bouteilles en rectangle, avec au moins 2 rangées et 2 colonnes. Lequel de ces formats est impossible ?