Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 6 / 15 du parcours

Les fractions égyptiennes

Les fractions égyptiennes : écrire une fraction comme une somme de 1/2, 1/3, 1/4… comme les scribes du papyrus Rhind, avec l’algorithme glouton animé.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Additionner des fractions

Les Égyptiens écrivaient chaque fraction comme une somme de fractions « 1 sur… ».

Tu dois partager 5 pizzas entre 8 amis : chacun reçoit 58\frac{5}{8} de pizza. Couper chaque pizza en 8, c’est long et ça fait des miettes !

Il y a 3 600 ans, les scribes égyptiens donnaient plutôt à chacun une demi-pizza et un huitième. Bienvenue dans le monde des fractions égyptiennes !

1/21/85/8 = 1/2 + 1/8

Que des fractions « de 1 »

Fraction unitaire et fraction égyptienne
  • Une fraction unitaire a pour numérateur 1 : 12\frac{1}{2}, 13\frac{1}{3}, 17\frac{1}{7}, 1100\frac{1}{100}…
  • Écrire une fraction à l’égyptienne, c’est l’écrire comme une somme de fractions unitaires toutes différentes.

Exemple : 58=12+18\frac{5}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} et 34=12+14\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}.

Les Égyptiens n’écrivaient pas « 3/4 » : pour eux, une fraction, c’était toujours « la partie 1 sur n ». Le hiéroglyphe d’une bouche, posé au-dessus d’un nombre, voulait dire « un n-ième ». Exception célèbre : 23\frac{2}{3}, qui avait son propre symbole.

Le papyrus Rhind, un cahier d’exercices de 3 600 ans

Vers 1650 av. J.-C., un scribe égyptien nommé Ahmès recopie un manuel de mathématiques encore plus ancien sur un rouleau de papyrus d’environ 5 mètres de long. Il y promet « la connaissance de toutes les choses obscures » ! On y trouve des problèmes de partage de pains entre des ouvriers, de calcul de greniers… et un grand tableau de décomposition des fractions 2n\frac{2}{n}, pour tous les nn impairs de 3 à 101.

Le rouleau a été acheté en 1858 à Louxor par un jeune Écossais, Alexander Henry Rhind, et il est aujourd’hui exposé au British Museum de Londres. Bien plus tard, en 1202, Fibonacci décrira une méthode pour décomposer n’importe quelle fraction : c’est elle que tu vas tester juste en dessous.

L’algorithme glouton de Fibonacci

L’idée est toute simple : à chaque étape, on prend la plus grosse fraction unitaire qui rentre dans ce qui reste. On dit que c’est un algorithme « glouton », comme quelqu’un qui se sert toujours la plus grosse part !

Choisis une fraction avec les curseurs, puis clique sur « Étape suivante » : la barre du bas se remplit de morceaux 1n\frac{1}{n} jusqu’à atteindre exactement la ligne pointillée.

Le découpage à l’égyptienne

Décomposer 3/7 pas à pas
  1. Quelle est la plus grosse fraction unitaire inférieure ou égale à 37≈0,43\frac{3}{7} \approx 0{,}43 ? 12=0,5\frac{1}{2} = 0{,}5 est trop grand, 13≈0,33\frac{1}{3} \approx 0{,}33 rentre. Il reste 37−13=921−721=221\frac{3}{7} - \frac{1}{3} = \frac{9}{21} - \frac{7}{21} = \frac{2}{21}.
  2. Dans 221≈0,095\frac{2}{21} \approx 0{,}095 : 110=0,1\frac{1}{10} = 0{,}1 est trop grand, 111\frac{1}{11} rentre. Il reste 221−111=22231−21231=1231\frac{2}{21} - \frac{1}{11} = \frac{22}{231} - \frac{21}{231} = \frac{1}{231}.
  3. 1231\frac{1}{231} est déjà une fraction unitaire : c’est fini !
37=13+111+1231\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}
Trouver vite la plus grosse fraction unitaire

Pour une fraction ab\frac{a}{b}, divise bb par aa et prends l’entier juste au-dessus (ou le résultat lui-même s’il tombe juste). Pour 37\frac{3}{7} : 7÷3≈2,337 \div 3 \approx 2{,}33, donc 13\frac{1}{3}.

Pourquoi l’algorithme s’arrête toujours— facultatif, à sauter en première lecture

Partons de ab\frac{a}{b} et choisissons le plus petit entier nn tel que 1n≤ab\frac{1}{n} \le \frac{a}{b}. Ce qui reste vaut :

ab−1n=a×n−bb×n\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n - b}{b \times n}

Comme nn est le plus petit possible, 1n−1\frac{1}{n-1} était trop grand, donc a×(n−1)<ba \times (n - 1) < b, c’est-à-dire a×n−b<aa \times n - b < a. Le numérateur du reste est strictement plus petit que aa ! Il diminue à chaque étape (3, puis 2, puis 1 dans l’exemple) : au bout d’au plus aa étapes, il tombe à 1 et c’est terminé. Revers de la médaille : les dénominateurs peuvent devenir énormes.

Attention

La décomposition n’est pas unique ! Par exemple 34=12+14\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, mais aussi 34=12+16+112\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}. Et attention à la règle : pas deux fois la même fraction. Écrire 25=15+15\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} n’est pas « égyptien » ; il faut trouver 25=13+115\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}.

Encore aujourd’hui, les fractions égyptiennes cachent des mystères : en 1948, Paul Erdős et Ernst Straus ont conjecturé que toute fraction 4n\frac{4}{n} s’écrit avec trois fractions unitaires seulement. Personne n’a encore réussi à le prouver pour tous les nn !

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Partager équitablement : pour 5 pizzas et 8 amis, on coupe 4 pizzas en deux (8 moitiés) et la dernière en 8. Chacun reçoit 12+18=58\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8} de pizza, en seulement 2 morceaux au lieu de 5.
  • En cuisine : une recette demande 34\frac{3}{4} de verre de lait, mais tu n’as qu’un verre doseur d’un demi et d’un quart : 12+14\frac{1}{2} + \frac{1}{4}, et le tour est joué.
  • Pour lire l’heure : trois quarts d’heure, c’est une demi-heure plus un quart d’heure : 30+15=4530 + 15 = 45 minutes.
  • En musique : une blanche pointée dure une blanche plus une noire, c’est-à-dire 12+14=34\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} de ronde. Les durées des notes sont des fractions égyptiennes !
  • Partager des pains, comme dans le papyrus : pour donner 9 pains à 10 ouvriers, chacun reçoit 910=23+15+130\frac{9}{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{30} de pain. C’est le genre de problème qu’on trouve dans le papyrus Rhind.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Laquelle de ces fractions est une fraction unitaire ?

  2. Que vaut 1/2 + 1/4 ?

  3. Avec l’algorithme glouton, 3/5 = 1/2 + 1/n. Que vaut n ?

  4. Comment s’appelle le scribe qui a recopié le papyrus Rhind vers 1650 av. J.-C. ?

  5. On partage 7 tablettes de chocolat entre 12 enfants : 7/12 = 1/2 + 1/n. Que vaut n ?

  6. Une recette demande 3/4 de litre de lait. Tu as déjà versé 1/2 L. Quelle fraction de litre dois-tu encore ajouter ?

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